Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Комплексное число можно изобразить точкой плоскости с координатами (a; b). Плоскость xOy, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью (рис 1.). При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью.

M(a;b)

О a х

Любое комплексное число единственным способом определяется его действительной и мнимой частями. Каждому комплексному числу в комплексной плоскости соответствует единственная точка М(a; b), и, обратно, каждой точке (a; b) плоскости xOy соответствует единственное комплексное число. Например, число изображается точкой М(3;2). Сопряжённые числа расположены симметрично относительно действительной оси.

Комплексное число можно геометрически изобразить в виде вектора с началом в точке О(0;0) и концом в точке М(a; b).

Модулем комплексного числа называется действительное число Модуль комплексного числа называется также абсолютной величиной этого числа.

Пример.

Найти модули комплексных чисел и

Решение:

= = = = = 5;

= = = = .

Из геометрической интерпретации комплексных чисел вытекают следующие свойства:

I. Длина вектора равна .

II. Точки и симметричны относительно действительной оси.

III. Точки z и -z симметричны относительно точки О.

IV. Число геометрически изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов (правилу параллелограмма), соответствующих точкам (рис.2).