дифференцируемой функции.
Теорема (необходимое и достаточное словия убывания дифференцируемой
функции на промежутке). Пусть функция непрерывна на промежутке I и
дифференцируема вовсех его точках, за исключением, может быть конечного их
числа. Если производная f’(x) отрицательна всюду где определена и не равна
тождественно 0 ни на одном интервале I1 принадлежащем I, то функция убывает на I
Из условия монотонности функции следует, что f(x) убывает на І. Пустьдля
некоторых точек х1 и х2, x1<x2, этого промежутка f(x1)=f(x2). Тогда для любой точки
х𝜖(х1,х2) имеем f(x1)≥f(x)≥(x2). Это означает, что функция постоянна на (х1,х2), и
следовательно, f’(x) тождественно равна 0 на этом интервале, что противоречит
условию теоремы. Таким образомf(x1)≠f(x2), а тогда f(x1)>f(x2)и функция возрастает
на I. Теорема доказана.
Сформулируйте и докажите первое достаточное условие экстремума (по
первой производной)
Сформулируйте и докажите второе достаточное условие экстремума (по
второй производной).
|
|
49. Сформулируйте и докажите достаточное условие выпуклости функции.
50. Сформулируйте и докажите необходимое условие точки перегиба.
51. Сформулируйте и докажите достаточное условие точки перегиба __