2020-10-10
231
Пусть a и b обозначают две различные группы:
| Группа a | Группа b | |
| Объем группы | na | nb |
| Среднее | 
| 
|
| Дисперсия | Sa2 | Sb2 |
Дисперсия группы na + nb, образованной в результате соединения групп a и b, равна
S2 = 
, (5.4)
где 
.
Стандартное отклонение S
Мерой изменчивости, тесно связанной с дисперсией, является стандартное отклонение. Стандартное отклонение, обозначаемое S, определяется как положительное значение квадратного корня из дисперсии. Для определения S надо сначала найти S 2, а затем вычислить из него квадратный корень
. (5.5)
Асимметрия
Одно из наиболее важных свойств распределения частот – степень асимметрии. Практически точно симметричные полигоны частот и гистограммы почти никогда не встречаются. Степень асимметрии распределения частот для выборки называют просто его асимметрией. Легко выявить и распознать асимметрию, если рассматривать полигон частот или гистограмму, но это не всегда возможно или удобно. Поэтому изобретены различные обобщенные статистические характеристики, оценивающие вид и степень асимметрии группы наблюдений.
|
|
|
Наилучшая мера асимметрии для группы данных выражается формулой
As = 
. (5.6)
Поскольку вычисление по формуле (5.6) очень утомительно, то для умеренно больших выборок (n = 50 и более) можно проводить вычисления по формуле
As = 
, (5.7)
т. е. асимметрия распределения равна отношению утроенной разности среднего и медианы к стандартному отклонению. Асимметрия из уравнения (5.7) может принимать значения в диапазоне от –3 до +3.
Если As > 0 (As < 0), то говорят, что распределение имеет положительную (отрицательную) асимметрию. При этом в унимодальных положительно (отрицательно) асимметричных распределениях среднее больше (меньше) медианы, которая в свою очередь больше (меньше) моды.
В симметричном распределении As = 0.
Эксцесс
Эксцесс – греческое слово, обозначающее свойство «остроконечности» кривой. Понятие «эксцесс» применимо лишь к унимодальным распределениям и относится к крутизне кривой в окрестности единственной моды. (Если распределение имеет две моды, то принято говорить об эксцессе кривой в окрестности каждой моды.)
Обычная мера эксцесса определяется следующей формулой
Эксцесс = 
. (5.8)
Соотношения между величиной статистики эксцесса и «островершинностью» распределения, для которого она вычислялась, показаны в таблице 5.1.
Таблица 5.1 – Соотношение величины статистики эксцесса с «островершинностью» распределения частот
|
|
|
| Характер распределения | Описание «островершин-ности» | График | Величина статистики эксцесса |
| Плоское | Плосковершинное |
| Менее 3 (должна быть не меньше нуля) |
| Островершинное | Островершинное |
| Больше 3 (может быть очень большой) |
| Нормальное | Средневершинное |
| 3 |
Нормальное распределение рассматривается в следующей лекции.
Домашнее задание № 3
Вам необходимо, используя таблицу 3.1, вычеркнуть информацию (столбик 2) о человеке, номер которого (столбик 1) совпадает с Вашим номером по списку, а после этого определить моду, медиану, среднее, вычислить дисперсию и стандартное отклонение (все результаты вычислить с точностью до четырех значащтх цифр) для полученной группы из 37 человек.
ОБРАЗЕЦ
Есди Ваш номер 20, то полученная таблица для анализа результатов будет иметь вид
| № п/п | Оценка |
| 1 | 2 |
| 1 | 90 |
| 2 | 66 |
| 3 | 106 |
| 4 | 84 |
| 5 | 105 |
| 6 | 83 |
| 7 | 104 |
| 8 | 82 |
| 9 | 97 |
| 10 | 97 |
| 11 | 59 |
| 12 | 95 |
| 13 | 78 |
| 14 | 70 |
| 15 | 47 |
| 16 | 95 |
| 17 | 100 |
| 18 | 69 |
| 19 | 44 |
| 20 | 75 |
| 21 | 75 |
| 22 | 51 |
| 23 | 109 |
| 24 | 89 |
| 25 | 58 |
| 26 | 59 |
| 27 | 72 |
| 28 | 74 |
| 29 | 75 |
| 30 | 81 |
| 31 | 71 |
| 32 | 68 |
| 33 | 112 |
| 34 | 62 |
| 35 | 91 |
| 36 | 93 |
| 37 | 84 |
Студенты под номерами 10 и 16, ВНИМАНИЕ: Ваши номера изменены (для избежания дублирования результатов)!!!
| № | ФИО | Мода | Медиана | Сред-нее | Дис-персия | Стан-дартное откло-нение | |
| 1 | Вожжов Никита Вячеславович | ||||||
| 2 | Глущенко Никита Сергеевич | ||||||
| 3 | Дымченко Владислав Андреевич | ||||||
| 4 | Загоруйко Данил Евгеньевич | ||||||
| 5 | Ковалёв Вячеслав Анатольевич | ||||||
| 6 | Михайленко Владислав Игоревич | ||||||
| 7 | Романов Вячеслав Игоревич | ||||||
| 8 | Сергеев Даниил Юрьевич | ||||||
| 9 | Усик Богдан Константинович | ||||||
| 17 | Мастеровенко Анастасия | ||||||
| 11 | Михайлова Алина | ||||||
| 12 | Толмачева Елена | ||||||
| 13 | Трунаев Андрей | ||||||
| 14 | Скрипник Анастасія Ігорівна | ||||||
| 15 | Ставська Тетяна Володимирівна | ||||||
| 18 | Яковлєва Катерина Юріївна | ||||||
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. 
- распределение
Значения 
, соответствующие вероятности 
,
где 
имеет 
- распределение с 
степенями свободы
| k | α | ||||||||||
| 0,99 | 0,95 | 0,9 | 0,5 | 0,25 | 0,1 | 0,05 | 0,025 | 0,01 | 0,005 | 0,001 | |
| 1 | 0 | 0 | 0,02 | 0,45 | 1,32 | 2,71 | 3,84 | 5,02 | 6,63 | 7,88 | 10,8 |
| 2 | 0,02 | 0,1 | 0,21 | 1,39 | 2,77 | 4,61 | 5,99 | 7,38 | 9,21 | 10,6 | 13,8 |
| 3 | 0,11 | 0,35 | 0,58 | 2,37 | 4,11 | 6,25 | 7,81 | 9,35 | 11,3 | 12,8 | 16,3 |
| 4 | 0,3 | 0,71 | 1,06 | 3,36 | 5,39 | 7,78 | 9,49 | 11,1 | 13,3 | 14,9 | 18,5 |
| 5 | 0,55 | 1,15 | 1,61 | 4,35 | 6,63 | 9,24 | 11,1 | 12,8 | 15,1 | 16,7 | 20,5 |
| 6 | 0,87 | 1,64 | 2,2 | 5,35 | 7,84 | 10,6 | 12,6 | 14,4 | 16,8 | 18,5 | 22,5 |
| 7 | 1,24 | 2,17 | 2,83 | 6,35 | 9,04 | 12 | 14,1 | 16 | 18,5 | 20,3 | 24,3 |
| 8 | 1,65 | 2,73 | 3,49 | 7,34 | 10,2 | 13,4 | 15,5 | 17,5 | 20,1 | 22 | 26,1 |
| 9 | 2,09 | 3,33 | 4,17 | 8,34 | 11,4 | 14,7 | 16,9 | 19 | 21,7 | 23,6 | 27,9 |
| 10 | 2,56 | 3,94 | 4,87 | 9,34 | 12,5 | 16 | 18,3 | 20,5 | 23,2 | 25,2 | 29,6 |
| 11 | 3,05 | 4,57 | 5,58 | 10,3 | 13,7 | 17,3 | 19,7 | 21,9 | 24,7 | 26,8 | 31,3 |
| 12 | 3,57 | 5,23 | 6,3 | 11,3 | 14,8 | 18,5 | 21 | 23,3 | 26,2 | 28,3 | 32,9 |
| 13 | 4,11 | 5,89 | 7,04 | 12,3 | 16 | 19,8 | 22,4 | 24,7 | 27,7 | 29,8 | 34,5 |
| 14 | 4,66 | 6,57 | 7,79 | 13,3 | 17,1 | 21,1 | 23,7 | 26,1 | 29,1 | 31,3 | 36,1 |
| 15 | 5,23 | 7,26 | 8,55 | 14,3 | 18,2 | 22,3 | 25 | 27,5 | 30,6 | 32,8 | 37,7 |
| 16 | 5,81 | 7,96 | 9,31 | 15,3 | 19,4 | 23,5 | 26,3 | 28,8 | 32 | 34,3 | 39,3 |
| 17 | 6,41 | 8,67 | 10,1 | 16,3 | 20,5 | 24,8 | 27,6 | 30,2 | 33,4 | 35,7 | 40,8 |
| 18 | 7,01 | 9,39 | 10,9 | 17,3 | 21,6 | 26 | 28,9 | 31,5 | 34,8 | 37,2 | 42,3 |
| 19 | 7,63 | 10,1 | 11,7 | 18,3 | 22,7 | 27,2 | 30,1 | 32,9 | 36,2 | 38,6 | 43,8 |
| 20 | 8,26 | 10,9 | 12,4 | 19,3 | 23,8 | 28,4 | 31,4 | 34,2 | 37,6 | 40 | 45,3 |
| 21 | 8,9 | 11,6 | 13,2 | 20,3 | 24,9 | 29,6 | 32,7 | 35,5 | 38,9 | 41,4 | 46,8 |
| 22 | 9,54 | 12,3 | 14 | 21,3 | 26 | 30,8 | 33,9 | 36,8 | 40,3 | 42,8 | 48,3 |
| 23 | 10,2 | 13,1 | 14,8 | 22,3 | 27,1 | 32 | 35,2 | 38,1 | 41,6 | 44,2 | 49,7 |
| 24 | 10,9 | 13,8 | 15,7 | 23,3 | 28,2 | 33,2 | 36,4 | 39,4 | 43 | 45,6 | 51,2 |
| 25 | 11,5 | 14,6 | 16,5 | 24,3 | 29,3 | 34,4 | 37,7 | 40,6 | 44,3 | 46,9 | 52,6 |
| 26 | 12,2 | 15,4 | 17,3 | 25,3 | 30,4 | 35,6 | 38,9 | 41,9 | 45,6 | 48,3 | 54,1 |
| 27 | 12,9 | 16,2 | 18,1 | 26,3 | 31,5 | 36,7 | 40,1 | 43,2 | 47 | 49,6 | 55,5 |
| 28 | 13,6 | 16,9 | 18,9 | 27,3 | 32,6 | 37,9 | 41,3 | 44,5 | 48,3 | 51 | 56,9 |
| 29 | 14,3 | 17,7 | 19,8 | 28,3 | 33,7 | 39,1 | 42,6 | 45,7 | 49,6 | 52,3 | 58,3 |
| 30 | 15 | 18,5 | 20,6 | 29,3 | 34,8 | 40,3 | 43,8 | 47 | 50,9 | 53,7 | 59,7 |
|
|
|
