Обобщенные координаты и импульсы

Следует подчеркнуть, что «полевая» трактовка взаимодействия между частицами, описываемая потенциальной энергией, которая зависит от положения частиц в пространстве, соответствует концепции «дальнодействия». Фактически, это означает, что частицы «знают» о существовании друг друга в любой момент времени, если функция отлична от нуля, как это имеет место для гравитационного и электростатического взаимодействия. Однако концепция дальнодействия имеет физический смысл только в предположении о малости скоростей движения частиц по сравнению со скоростью распространения взаимодействия (скоростью света).

В этой связи отметим, что законы Ньютона, являющиеся результатом обобщения наблюдаемых явлений, были сформулированы для макроскопических тел. При этом было принято считать, что взаимодействие таких тел в большинстве случаев осуществляется при их непосредственном контакте (соприкосновении поверхностей, ограничивающих такие тела).

С этой точки зрения существенное значение имеет не только величина и направление действующей на макроскопическое тело силы, но и точка ее приложения. Исключениями являются «полевые» взаимодействия: гравитационное взаимодействие массивных тел и электростатическое взаимодействие заряженных тел. Подчеркнем, что законы полевых взаимодействий (закон тяготения Ньютона и закон Кулона) были также установлены для макроскопических тел.

При переходе (экстраполяции) от описания макроскопических тел к рассмотрению точечных частиц необходимо сделать целый ряд допущений, которым во многих случаях не уделяется достаточного

26

внимания. Очевидным способом такого перехода является предположение о том, что точечную частицу следует рассматривать как тело (сферической формы), линейный размер которого стремится к нулю. В этом случае контактное взаимодействие таких частиц фактически исключается из рассмотрения, так как вероятность столкновения точечных частиц можно считать равной нулю. Тем самым, остается возможность только полевого взаимодействия, при котором нет необходимости в непосредственном контакте точечных частиц.

Однако само макроскопическое тело состоит из взаимодействующих точечных частиц. Поэтому возможность охарактеризовать макроскопическое тело однозначными линейными размерами означает, что пространственные положения частицы, из которых состоит такое тело, взаимосвязаны. Очевидным примером является модель абсолютно твёрдого тела, состоящего из материальных точек, которые жёстко связаны друг с другом «невесомыми стрежнями» и могут перемещаться в пространстве только вместе как целое. Ещё один простой пример — система, состоящая из двух материальных точек (), связанных между собой жёстким «невесомым стержнем» (жёсткий ротатор). Для реализации подобных моделей необходимо наложить весьма жесткие и специфические требования к потенциальной энергии взаимодействия точечных частиц.

Во всех подобных случаях координаты материальных точек — неизвестных функций в системе уравнений (1.1.2) — оказываются связанными между собой некоторыми алгебраическими соотношениями — уравнениями связей:

Например, координаты двух материальных точек, из которых состоит жёсткий ротатор, связаны одним таким соотношением:

где — неизменное расстояние между материальными точками, которое равно длине «жёсткого стержня».

В подобных условиях значения только декартовых координат механической системы,

можно задать независимо. Значения же остальных b координат будут однозначно определены, если решить относительно них b уравнений связи

27

(1.3.1). Величина f (1.3.3) называется числом степеней свободы механической системы. Например, у жёсткого ротатора в соответствии с (1.3.2), (1.3.3) и. Для абсолютно твёрдого тела, каково бы ни было число N ≥ 3 материальных точек, из которых оно состоит, f = 6. Исключение составляет специальный случай, когда все материальные точки расположены на одной прямой: тогда.

Чтобы определить движение системы связанных материальных точек, придётся решать дифференциальные уравнения движения (1.1.2) совместно с алгебраическими уравнениями связей (1.3.1). Это крайне неудобно. Гораздо проще с учётом характера наложенных на систему связей выбрать новых независимых координат,

через которые, используя в дополнение к соотношениям (1.3.4) b уравнений связей (1.3.1), можно однозначно выразить все декартовых координат. Величины (1.3.4) называются обобщёнными координатами механической системы.

Например, в случае жёсткого ротатора вначале удобно перейти от шести декартовых координат двух материальных точек с массами и к новым координатам — трём координатам центра масс системы

и трём координатам, описывающим относительное расположение материальных точек:

Затем вместо декартовых координат (1.3.6) введём сферические координаты — радиальную координату, аналогично (1.3.2), и угловые переменные — полярный θ и азимутальный φ углы, которые определяют ориентацию вектора для относительного положения материальных точек с координатами и в системе координат, жёстко связанной с центром масс (1.3.5). В качестве обобщённых координат выберем три координаты центра масс (1.3.5) и две угловые переменные θ и φ.

Уравнения (1.3.4), которые вместе с уравнением связи (1.3.1) выражают шесть исходных декартовых координат через пять выбранных обобщённых координат, имеют хорошо известный вид преобразований декартовой системы координат к сферической системе координат:

28

Точно так же и в общем случае, если решить уравнения для связей (1.2.3) и определить уравнений (1.3.4) относительно декартовых координат, то мы найдём соотношений, которые устанавливают связь декартовых координат с обобщёнными координатами:

С помощью соотношений (1.3.9) мы можем представить проекции скоростей материальных точек через обобщенные скорости

С учетом (1.3.10) кинетическая энергия системы (1.1.19) принимает вид квадратичной формы по обобщённым скоростям:

Заменяя в потенциальной энергии в соответствии с (1.3.9) декартовы координаты обобщёнными и вычитая её из кинетической энергии (1.3.11), получим в соответствии с (1.2.1) функцию Лагранжа системы в обобщенных координатах:

или кратко

Символы и в (1.3.13) обозначают наборы обобщённых координат и скоростей.

29

После весьма громоздких преобразований вместо уравнений движения Ньютона (1.1.2) для системы материальных точек со связями (1.3.1) мы можем получить новые уравнения движения относительно обобщённых координат рассматриваемой системы:

Уравнения (1.3.14) называются уравнениями Лагранжа, которые описывают динамику системы, имеющей степеней свободы, в обобщённых координатах. Подчеркнем, что уравнения Лагранжа в форме (1.3.14) не связаны с наличием или отсутствием связей (1.3.1).

Таким образом, преимущество использования функций Лагранжа заключается в универсальности описания динамики системы, независимо как от наличия связей, ограничивающих движение частиц, так и от выбора системы координат. Нетрудно проверить, если связей нет, и обобщённые координаты совпадают с декартовыми координатами, уравнения Лагранжа (1.3.14) превращаются в уравнения, а в итоге в уравнения Ньютона (1.1.2). _{Уравнениям Лагранжа (1.3.14) можно придать более привычный вид,} если определить обобщённый импульс, сопряжённый (т.е. соответствующий) обобщённой координате, а также обобщенную силу

Тогда с учётом определений (1.3.15) вместо (1.3.14) получим соотношение, по виду напоминающее второй закон Ньютона (1.1):

Чтобы получить соотношение, связывающее обобщённый импульс с обобщёнными скоростями и обобщенными координатами, необходимо продифференцировать в соответствии с (1.3.15) функцию Лагранжа (1.3.13). Поскольку, как видно из (1.3.13), обобщённые скорости входят только в выражение для кинетической энергии, получим:

30

Выражение (1.3.17) также напоминает соотношение, связывающее импульс материальной точки с ее скоростью и массой. Но обобщенный импульс связан не только со «своей», но и, вообще говоря, со всеми обобщенными скоростями, а также с обобщенными координатами.

Уравнения Лагранжа, как и уравнения Ньютона, являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка относительно обобщённых координат. Траектория системы определяется значениями обобщённых координат и скоростей

в начальный момент времени:

Уравнения Гамильтона

Если функцию Лагранжа (1.3.12), (1.3.13) рассматривать как функцию времени и независимых переменных: обобщённых координат и обобщённых скоростей, то полный дифференциал функции Лагранжа имеет вид:

Используя обозначения для обобщённых импульсов и обобщённых сил (1.3.15), а также имея в виду, что в соответствии с (1.3.12), (1.3.13) функция Лагранжа явно зависит от времени только при наличии такой зависимости у потенциальной энергии, перепишем (1.4.1) в виде

Теперь произведём замену переменных — вместо обобщённых скоростей будем использовать обобщённые импульсы. Для этого вычтем из обеих частей равенства (1.4.2) дифференциал выражения:

31

или, с учётом (1.3.16),

где введена функция Гамильтона

Как видно из (1.4.4), функция Гамильтона является функцией обобщенных координат и сопряженных им импульсов, т.е. функцией независимых переменных.

Таким образом, проведенным выше преобразованием в полном дифференциале (1.4.2) функции (1.3.12) заменены независимые переменные, а именно вместо обобщенных координат и скоростей введены новые независимые переменные. В итоге мы получили полный дифференциал (1.4.3) новой функции (1.4.4). Такое преобразование известно под названием преобразования Лежандра.

Заметим теперь, что, как видно из (1.3.11) и (1.3.17),

С помощью (1.4.5) можно выразить кинетическую энергию, определённую в (1.3.11) как функцию обобщённых координат и скоростей, через обобщённые координаты и импульсы. Для этого выразим обобщённые скорости через обобщённые импульсы, решив систему линейных алгебраических уравнений (1.3.17):

где — элементы матрицы, обратной матрице (1.3.11). Подставив (1.4.6) в (1.4.5), получим:

32

В итоге с учётом (1.3.12), (1.4.5) и (1.4.7) выразим функцию Гамильтона (1.4.4) через обобщённые координаты и импульсы:

Соотношение (1.4.8) показывает, что функция Гамильтона механической системы есть энергия (полная) этой системы, выраженная через обобщённые координаты и импульсы.

Возвращаясь к полному дифференциалу функции Гамильтона (1.4.3), получим из него уравнения Гамильтона:

Уравнения Гамильтона (1.4.9), число которых равно, для системы с заданной функцией Гамильтона являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка относительно неизвестных функций — обобщённых координат и обобщённых импульсов.

Эти функции в принципе можно вычислить, если решить уравнения (1.4.9), задав значения координат и импульсов в начальный момент времени:

Наряду с уравнениями Лагранжа (1.3.14), уравнения Гамильтона (1.4.9) являются уравнениями движения системы. Их называют также каноническими уравнениями механики. «Одноимённые», т.е. относящиеся к одной степени свободы, обобщённые координата и импульс, называют канонически сопряжёнными, взаимно сопряжёнными или просто сопряжёнными.

Какие из уравнений (Лагранжа или Гамильтона) выбрать для описания движения механической системы, определяется соображениями удобства. В ряде теоретических построений удобнее оказываются уравнения Гамильтона (1.4.9). Хотя их вдвое больше, чем уравнений Лагранжа, но они — первого порядка, тогда как уравнения Лагранжа — второго порядка.

33

Кроме того, определённое удобство связано с тем, что уравнения Гамильтона, как видно из (1.4.9), симметричны относительно координат и импульсов. Симметрия этих уравнений позволяет, например, без труда вывести уравнение баланса энергии системы. В самом деле, из соотношения (1.4.3) непосредственно следует:

Поскольку два последних слагаемых в равенстве (1.4.11) взаимно уничтожаются, то из него следует искомое соотношение:

i

Как видно из (1.4.12), если потенциальная энергия явно не зависит от времени, то энергия системы сохраняется (ср.:

В статистической физике предпочтение отдается использованию динамики Гамильтона. Ее дополнительные преимущества будут видны из дальнейшего рассмотрения.