2020-10-11
141
В ряде задач требуется не только найти для параметра θ подходящую оценку, но и указать, к каким ошибкам может привести замена параметра его оценкой. Другими словами, требуется оценить точность и надежность оценки. Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значительной мере случайна и приближенная замена этой оценкой истинного значения параметра θ может привести к серьезным ошибкам.
Для определения точности оценки θ в математической статистике пользуются доверительными интервалами, а для определения надежности – доверительными вероятностями.
Интервал (θ1,θ2) называется α – доверительным интервалом или доверительным интервалом с доверительной вероятностью 1−α, если
Рассмотрим задачу построения доверительных интервалов для неизвестных математического ожидания и дисперсии. Как известно, α – доверительный интервал для математического ожидания a выглядит следующим образом:
где s1 – среднеквадратическое отклонение (корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии), Δn−1,α находится из таблицы для вероятностей P(tn−1>Δn−1,α)=α распределения tn−1 (распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы).
|
|
|
Вводим в первый столбец, например, ячейки А1…А25 исходные данные. Задаем уровень значимости α=0.05. Далее для получения результатов подписываем ячейки, как на рис. 1.
Рисунок 1 – Пример подписи ячеек для получения результатов
Для вычисления величины 
служит функция ДОВЕРИТ категории СТАТИСТИЧЕСКИЕ с тремя параметрами «Альфа» – уровень значимости α, «Станд. откл» – s1 – среднеквадратическое отклонение (корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии), «Размер» – объем выборки n.
Таким образом, вводим в ячейку Н3 функцию:
=СРЗНАЧ(А1:А25)-ДОВЕРИТ(I1;СТАНДОТКЛОН(А1:А25);25)
а в ячейку I3 функцию:
=СРЗНАЧ(А1:А25)+ДОВЕРИТ(I1;СТАНДОТКЛОН(А1:А25);25).
Как известно, α – доверительный интервал для дисперсии σ2 выглядит следующим образом:
Нам потребуется функция ХИ2ОБР (категория СТАТИСТИЧЕСКИЕ), которая вычисляет обратное значение xn−1,p односторонней вероятности распределения хи-квадрат P(χ2n−1>xn−1,p)=p.
В данном конкретном случае 
ХИ2ОБР имеет два параметра: первый «Вероятность» содержит доверительную вероятность соответственно α/2 и 1−α/2, второй – степень свободы n-1.
Вводим в соответствии с формулой для доверительного интервала σ2 в ячейку Н4 запись:
=ДИСП(A1:A25)*24/ХИ2ОБР(0,025;24),
а в ячейку I4 запись:
=ДИСП(A1:A25)*24/ХИ2ОБР(0,975;24).
Получаем значения границ доверительных интервалов для σ2.
Оборудование
|
|
|
Персональный компьютер с установленной операционной системой Windows XP/7/8, браузер (Например, Internet Explorer, Google Chrome, Opera), OOo Writer (MS Word), Ооо Calc (MS Excel) пакет офисных приложений «Мой офис».
Задание на работу
1. Станок производит детали, измерения которых приведено ниже. С доверительной вероятностью 0.95 построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии размера деталей.
Вариант 1
| 43.8 | 43.9 | 46.3 | 44.6 | 47.5 | 42.0 | 44.5 | 45.0 | 46.8 | 45.3 | 41.8 | 42.3 | 47.9 | 45.5 | 44.4 | 43.1 | 42.8 |
| 41.9 | 42.8 | 46.0 | 45.3 | 41.8 | 42.3 | 47.9 | 45.5 | 46.3 | 44.6 | 47.5 | 42.0 | 44.5 | 43.8 | 43.9 | 46.3 | 44.6 |
Вариант 2
| 49.0 | 48.8 | 49.2 | 50.2 | 49.5 | 49.8 | 49.9 | 49.3 | 49.6 | 49.5 | 49.7 | 49.0 | 48.8 | 51.8 | 49.1 | 48.3 | 50.0 |
| 49.0 | 48.4 | 48.5 | 49.6 | 49.5 | 49.7 | 49.0 | 48.8 | 51.8 | 49.5 | 49.8 | 49.9 | 49.3 | 49.6 | 48.8 | 49.2 | 50.2 |
Вариант 3
| 42.1 | 41.9 | 42.3 | 43.1 | 42.5 | 42.7 | 42.9 | 42.3 | 42.6 | 42.5 | 42.7 | 42.0 | 41.9 | 44.5 | 42.2 | 41.5 | 42.9 |
| 42.1 | 41.5 | 41.6 | 41.9 | 42.3 | 43.1 | 42.5 | 42.7 | 42.9 | 42.3 | 42.6 | 42.5 | 42.7 | 42.0 | 42.3 | 43.1 | 42.5 |
Вариант 4
| 25.6 | 25.5 | 25.5 | 24.7 | 25.0 | 25.8 | 25.2 | 25.0 | 25.0 | 25.3 | 25.4 | 25.1 | 25.2 | 25.3 | 24.8 | 25.1 | 24.6 |
| 25.2 | 25.8 | 24.8 | 25.5 | 24.7 | 25.0 | 25.8 | 25.2 | 25.0 | 25.0 | 25.3 | 25.4 | 25.1 | 25.2 | 25.0 | 25.0 | 25.3 |
Вариант 5
| 51.2 | 49.9 | 50.7 | 52.3 | 51.3 | 51.2 | 52.4 | 51.6 | 51.5 | 51.0 | 51.8 | 50.9 | 50.7 | 52.0 | 50.2 | 51.1 | 51.0 |
| 51.2 | 52.0 | 49.9 | 50.7 | 52.3 | 51.3 | 51.2 | 52.4 | 51.6 | 51.5 | 51.0 | 51.8 | 50.9 | 50.7 | 52.4 | 51.6 | 51.5 |
Вариант 6
| 21.8 | 21.6 | 21.7 | 20.8 | 20.8 | 20.8 | 21.2 | 20.7 | 19.8 | 22.2 | 21.9 | 21.5 | 20.9 | 20.9 | 20.9 | 21.6 | 21.2 |
| 22.2 | 20.6 | 21.7 | 20.8 | 20.8 | 20.8 | 21.2 | 20.7 | 19.8 | 22.2 | 21.9 | 21.5 | 20.9 | 20.9 | 20.9 | 21.8 | 21.6 |
Вариант 7
| 22.7 | 25.7 | 25.5 | 25.2 | 22.7 | 23.6 | 26.4 | 24.2 | 23.7 | 23.5 | 24.7 | 24.8 | 24.0 | 24.3 | 24.7 | 23.1 | 24.0 |
| 22.1 | 24.4 | 26.5 | 25.7 | 25.5 | 25.2 | 22.7 | 23.6 | 26.4 | 24.2 | 23.7 | 23.5 | 22.7 | 25.7 | 25.5 | 25.2 | 22.7 |
Вариант 8
| 49.5 | 49.5 | 46.7 | 47.2 | 49.1 | 48.7 | 51.2 | 46.1 | 50.5 | 48.9 | 49.3 | 50.4 | 47.2 | 48.5 | 49.4 | 48.8 | 50.1 |
| 46.5 | 51.2 | 46.2 | 46.1 | 50.5 | 49.5 | 48.7 | 51.2 | 47.2 | 49.1 | 49.5 | 46.7 | 47.2 | 49.1 | 48.7 | 47.2 | 49.1 |
Вариант 9
| 31.6 | 31.4 | 31 | 31.4 | 33.1 | 33.0 | 32.9 | 31.4 | 31.9 | 33.5 | 32.3 | 32.0 | 31.9 | 32.6 | 32.7 | 32.2 | 32.3 |
| 32.6 | 31.6 | 32.1 | 32.9 | 31.4 | 31.9 | 33.5 | 32.3 | 32.0 | 31.6 | 31.4 | 31 | 31.4 | 33.1 | 33.0 | 32.9 | 31.4 |
Вариант 10
| 36.2 | 35.9 | 36.1 | 34.5 | 34.5 | 34.6 | 35.2 | 34.3 | 32.8 | 36.9 | 36.4 | 35.8 | 34.6 | 34.7 | 34.8 | 35.9 | 35.3 |
| 37 | 34.3 | 36.0 | 36.2 | 35.9 | 36.1 | 34.5 | 34.5 | 34.6 | 35.2 | 34.3 | 32.8 | 36.9 | 36.4 | 34.5 | 34.6 | 35.2 |
Контрольные вопросы
1. Дать определение интервальной оценки, что позволяют установить интервальные оценки?
2. Дать определение доверительной вероятности, каковы наиболее часто задаваемые ее значения?
3. Дать определение доверительного интервала. Кто разработал метод доверительных интервалов?
