Методические рекомендации по решению упражнений и задач

Практическая работа № 7

Тема занятия: Решение задач по теме «Линии 2-го порядка»

Цель:   закрепить и систематизировать теоретические знания,

научиться решать задачи по теме «Линии 2-го порядка».

План выполнения практической работы

1. Изучение методических рекомендаций по решению задач и выполнение упражнений и задач.

2. Выполнение практической самостоятельной работы по вариантам.                           

3. Письменные ответы на контрольные вопросы                            

Задания для практической работы.

Методические рекомендации по решению упражнений и задач.

1.Окружность и её уравнение. Каноническое уравнение окружности имеет вид: , (1) Где(a, b)– координаты центра, а R – радиус окружности. 2. Эллипс и его уравнение. Каноническое уравнение эллипса: , (2)    Где а – большая полуось, в – малая полуось, – эксцентриситет эллипса. Прямую, на которой расположены фокусы эллипса F1 u F2, называют фокальной осью, а   и – фокальными радиусами. Прямые  x= называют директрисами эллипса. Пример 1. Доказать, что уравнение                              определяет эллипс. Найти координаты его центра симметрии. Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты по и по : . Обозначим , где – новые переменные. Тогда уравнение примет вид или, приводя к каноническому виду, . Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2) убеждаемся, что кривая – эллипс. Центр его симметрии находится в точке (-2;2). 3. Гипербола и её уравнение. Каноническое уравнение гиперболы: , (3) Где . Точки , называются вершинами гиперболы, прямые являются асимптотами гиперболы, – действительная полуось, – мнимая полуось, – эксцентриситет гиперболы, прямые – ее директрисы. Пример 2. Написать уравнение гиперболы и ее асимптот, если фокусы гиперболы находятся в точках и длина вещественной оси равна 6. Решение. По условию , тогда из формулы найдем . Каноническое уравнение гиперболы: уравнения асимптот: . Пример 3. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку , асимптоты которой . Решение. Из уравнения асимптот следует, что . Уравнение гиперболы будем искать в виде . Так как точка лежит на гиперболе, то . Решая систему найдем , . Получаем или . 4. Парабола и её уравнение. Каноническое уравнение параболы , (4) Где (параметр параболы) – расстояние между фокусом и директрисой, а уравнение ее директрисы . Так как уравнение параболы содержит , то она симметрична относительно оси . Ось симметрии параболы называется осью параболы. Вершиной параболы называется точка пересечения параболы с ее осью симметрии. Пример 4. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку и симметрична относительно оси . Написать ее каноническое уравнение. Решение. Подставляя координаты точки в уравнение (22), найдем, что . Значит, уравнение параболы . Пример 5. Доказать, что уравнение определяет параболу. Найти значение ее параметра и координаты вершины. Решение. Выделяя полный квадрат, получим . Если положить то уравнение примет вид . Сравнивая его с каноническим уравнением (22), находим , откуда . Вершина параболы находится в точке , , то есть . 2. Самостоятельная работа. Вариант I. 1. Найдите координаты центра и радиус окружности: 2. Найдите эксцентриситет эллипс: Вариант II. 1.Найдите уравнения асимптот и изобразите схематично гиперболу: 2. Запишите уравнение директрисы параболы и постройте её схематично: У2 =-12х.