2020-10-10
107
Механика
1. Механическим движением называется перемещение тел или их частей относительно друг друга. Выделяют поступательное и вращательное движения. Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной самой себе. При этом все точки тела движутся по одинаковым траекториям. Вращательным называется движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой. Эта прямая называется осью вращения.
2. Кинематические характеристики поступательного движения:
Скорость определяет быстроту и направление движения:
, 
. (1)
Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории.
Ускорение характеризует быстроту изменения скорости по модулю и направлению:
(2)
3. Кинематические характеристики вращательного движения:
Угловая скорость характеризует быстроту поворота тела на угол j:
|
|
|
(3)
Направление вектора угловой скорости определяется по правилу правого винта.
Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости:
. (4)
При ускоренном движении направление вектора углового ускорения совпадает по направлению с направлением вектора угловой скорости, а при замедленном движении направление вектора углового ускорения антипараллельно направлению вектора угловой скорости.
4. Законы Ньютона
Первый закон Ньютона. Существуют такие системы отсчета, в которых всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет его из этого состояния.
Второй закон Ньютона. Ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально результирующей всех действующих на тело сил и обратно пропорционально массе тела:
. (5)
Третий закон Ньютона. Силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине, противоположны по направлению и приложены к разным телам:
, (6)
5. Основное уравнение динамики вращательного движения
Угловое ускорение 
, с которым вращается тело вокруг неподвижной оси, прямо пропорционально результирующему моменту 
всех действующих на тело сил и обратно пропорционально моменту инерции I тела:
|
|
|
. (7)
6. Моменты инерции некоторых тел
| Тело | Ось, относительно которой находится момент инерции | Формула момента инерции |
| Однородный тонкий стержень массой m и длиной l | Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно ему | (1/12) ml 2 |
| То же | Проходит через конец стержня перпендикулярно ему | (1/3) ml 2 |
| Однородный шар массой m и радиусом R | Проходит через центр шара | (2/5) mR 2 |
| Сплошной однородный цилиндр или диск массой m и радиусом R | Проходит через центр диска перпендикулярно ему | (1/2) mR 2 |
| Тонкое кольцо, обруч, труба массой m и радиусом R | Проходит через центр перпендикулярно плос-кости тела (основания) | mR 2 |
7. Импульсом тела называется произведение массы тела m на его скорость 
:
(8)
Импульсом системы тел называется геометрическая сумма импульсов тел, входящих в систему.
Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы не изменяется со временем.
(9)
Скорость изменения импульса системы равна сумме действующих на систему внешних сил
(10)
8. Момент импульса материальной точки относительно некоторой точки О
, (11)
где m - масса материальной точки, движущейся со скоростью V; 
- радиус-вектор точки.
Момент импульса твердого тела относительно оси вращения
(12)
где 
- момент инерции тела относительно оси z, w - угловая скорость тела.
Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы не изменяется со временем.
9. Работой переменной силы F на пути S называется величина
(13)
В частном случае постоянной силы, действующей под неизменным углом a к перемещению S,
(14)
Мощностью называется скорость совершения работы:
(15)
В случае постоянной мощности N = А/t, где А - работа, совершаемая за время t.
10. Энергией называется единая количественная мера всех форм движения и взаимодействия всех видов материи.
Механической энергией называется сумма кинетической и потенциальной энергий. Механическая энергия характеризует способность тела совершать механическую работу.
Кинетической называется энергия движения тела.
| Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью V: | 
|
| Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (I - момент инерции, ω - угловая скорость): | 
|
Потенциальной называется энергия взаимодействия тел или частей тела.
| Потенциальная энергия тела массой m, поднятого над поверхностью Земли на высоту h: | П=mgh |
| Потенциальная энергия упруго деформированного тела (k - коэффициент упругости, x - величина деформации): | 
|
11. Закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия замкнутых консервативных систем не изменяется со временем. В диссипативных системах часть механической энергии переходит в немеханические формы (например, в тепло).
Молекулярная физика и термодинамика
1. Уравнение Менделеева – Клапейрона (уравнение состояния) описывает связь для данной массы идеального газа m между давлением p, температурой T и занимаемым объемом V:
, (1)
где R – универсальная газовая постоянная, μ – молярная масса газа, ν – число молей.
2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление p газа на стенки сосуда с концентрацией n исредней квадратичной скоростью молекул <υ2>:
|
|
|
. (2)
3. Внутренней энергией системы называется сумма энергий хаотического (теплового) движения микрочастиц и энергий их взаимодействия. Внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий движения всех его молекул. При большом числе частиц можно воспользоваться усредненными характеристиками и представить внутреннюю энергию идеального газа как произведение средней кинетической энергии ε0 на число частиц N:
(3)
4. Закон Больцмана о равномерном распределении энергии теплового движения по степеням свободы: на каждую поступательную и вращательную степень свободы молекулы i приходится одинаковая кинетическая энергия, равная ½ kT (k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура).
, 
. (4)
5. Работа газа при изменении его объема
. (5)
6. Первое начало термодинамики (закон сохранения энергии для термодинамических процессов): теплота D Q, переданная системе, расходуется на увеличение ее внутренней энергии D U и на совершение ею работы A против внешних сил.
D Q = D U+A. (6)
7. Удельной теплоемкостью с называется физическая величина, численно равная количеству теплоты, которую надо сообщить 1 кг вещества, чтобы увеличить его температуру на 1 К:
. (7)
Молярной теплоемкостью С называется физическая величина, численно равная количеству теплоты, которую надо сообщить 1 моль вещества, чтобы увеличить его температуру на 1 К:
. (8)
Удельная и молярная теплоемкости связаны между собой соотношением С =μ с (μ – молярная масса).
|
|
|
8. Изопроцессами называются термодинамические процессы, происходящие в системе с постоянной массой при каком – либо одном постоянном параметре состояния.
Некоторые сведения об изопроцессах в идеальных газах:
| Изопроцесс | Опытный закон | Работа | Первое начало термодинамики | C ** |
| Изобарический P =const | V / T = const | 
| D Q = D U+A | 
|
| Изотермический T =const | pV = const | 
| D Q = A | ∞ |
| Изохорный V =const | p / T = const | A =0 | D Q = D U | 
|
| Адиабатический D Q = 0 | pV γ = const* | 
| A = –D U | 0 |
*γ –коэффициент Пуассона (отношение теплоемкости газа в изобарическом процессе к теплоемкости в изохорном процессе);
** С – молярная теплоемкость газа в изопроцессе, i – количество степеней свободы газа.
9. Второе начало термодинамики
I. Теплота никогда не может переходить сама собой от тел с более низкой температурой к телам с более высокой температурой (формулировка Р. Клаузиуса).
II. Энтропия изолированной системы не может убывать:
dS ≥ 0. (9)
Энтропией S называется физическая величина, характеризующая меру беспорядка в системе:
S= k lnW, (10)
где k – постоянная Больцмана, W–статистический вес (термодинамическая вероятность) системы. Статистический вес системы представляет собой число микросостояний, с помощью которых может реализоваться данное макросостояние системы.
10. Третье начало термодинамики
При стремлении к нулю температуры энтропия всякого тела стремится к нулю.
S → 0 при T → 0. (11)
11. Тепловым двигателем называется периодически действующая машина, совершающая работу за счет подведенного извне тепла.
Коэффициент полезного действия ή (КПД) теплового двигателя:
ή = А / Q 1 = (Q 1– Q 2) / Q 1, (12)
где А – работа, совершаемая рабочим телом,Q1и Q 2 – соответственно количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя и отданное им холодильнику.
Наиболее экономичным обратимым циклом является циклКарно, состоящий из двух изотермических и двух адиабатических процессов. КПД цикла Карно:
, (13)
где T 1 и T 2 – температуры нагревателя и холодильника соответственно.
Электродинамика
1. Закон Кулона. Сила электростатического взаимодействия между двумя точечными электрическими зарядами прямо пропорциональна произведению величин этих зарядов q i и q k и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними.
, (1)
где ε0 – электрическая постоянная, ε – диэлектрическая проницаемость вещества.
2. Взаимодействие между электрическими зарядами осуществляется через особую форму материи, называемую электрическим полем. Напряженностью электрического поляназывается отношение силы 
, действующей на точечный заряд q, помещенный в данную точку электростатического поля:
(2)
3. Потенциалом называетсяотношение потенциальной энергии W положительного точечного заряда q, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда:
φ = W/q (3)
Потенциал электростатического поля численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность.
4. Связь напряженности и потенциала электростатического поля:
; 
. (4)
Знак “минус” указывает, что вектор напряженности электрического поля направлен в сторону уменьшения потенциала.
5. Диэлектрической проницаемостью диэлектрика ε называется безразмерная величина, показывающая, во сколько раз напряженность электрического поля в диэлектрике Е меньше, чем напряженность электрического поля в вакууме Е 0:
ε= Е 0/ Е (5)
6. Электростатическое поле некоторых объектов:
| Источник электростатического поля | Формула для вычисления напряженности | Формула для вычисления потенциала |
| Точечный заряд q на расстоянии r от заряда | 
| 
|
| Бесконечная равномерно заряженная плоскость с поверхностной плотностью заряда σ | 
| 
|
| Бесконечная равномерно заряженная нить (цилиндр) с линейной плотностью заряда τ на расстоянии r | 
| 
|
7. В пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным. Количественной характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции 
. Магнитная индукция в данной точке равна максимальному вращающему моменту M max, действующему на плоскую рамку с током с магнитным моментом p m =1 А×м2:
B=M max./ p m. (6)
Вектор магнитной индукции характеризует результирующее магнитное поле, создаваемое как макротоками (токами, текущими в проводниках), так микротоками (токами, связанными с магнитными моментами атомов).
8. Магнитное поле макротоков описывается вектором напряженности 
. Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции связан с вектором напряженности соотношением
, (7)
где μ0 – магнитная постоянная; μ – магнитная проницаемость среды.
9. Магнитная проницаемость μ показывает, во сколько раз магнитное поле в среде изменяется по сравнению с вакуумом (во сколько раз магнитное поле макротоков H усиливается за счет поля микротоков среды). В зависимости от величины магнитной проницаемости все вещества делятся на диамагнетики (m‹1), парамагнетики (m>1) и ферромагнетики (m>>1).
10. Сила Ампера d F A, с которой магнитное поле действует на элемент проводника d l с током:
d F A= I d lB sinα или 
, (8)
где α – угол между направлениями тока и магнитного поля.
11. Сила Лоренца d F Л, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле со скоростью v:
d F Л= qvB sinα или 
, (9)
где α – угол между направлением магнитного поля и скоростью заряда.
12. Магнитное поле различных проводников с током:
| Источник магнитного поля | Формула для вычисления магнитной индукции | |
| Круговой виток радиуса R с током I | В центре витка | B =m0m I /2 R |
| Бесконечный прямолинейный провод с током I | На расстоянии r от проводника | B =m0m I /2π r |
| Прямолинейный провод с током I конечной длины | На расстоянии r от проводника | B =m0m I /4π r (соsα- соsβ) |
| Соленоид длиной l c числом витков N с током I | В центре cоленоида | B =m0m IN / l |
| Тороид c числом витков N радиусом r с током I | В центре тороида | B =m0m IN /(2π r) |
13. Потоком магнитной индукции через поверхность S называется скалярная величина, определяемая соотношением:
. (10)
В случае однородного магнитного поля и плоской поверхности Ф = BS cosα. Здесь α – угол между нормалью к поверхности и направлением вектора магнитной индукции 
.
14. Работа по перемещению проводника с током I в магнитном поле:
, (11)
где dФ - магнитный поток, пересечённый движущимся проводником.
15. Явление электромагнитной индукции заключается в возникновении электрического тока в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, охватываемого этим контуром. Это явление описывается законом Фарадея:
. (12)
Знак ”минус” является математическим выражением правила Ленца: индукционный ток в контуре всегда имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего этот ток.
13. Явлением самоиндукции называется возникновение электрического тока в замкнутом проводящем контуре при изменении в нем силы тока:
, (13)
где L – индуктивность контура.
14. Явление возникновения э.д.с. в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Уравнение Фарадея для явления взаимной индукции в случае постоянных коэффициентов взаимной индукции L12 и L21:
(14)
15. Электрическое и магнитное поля являются источниками энергии. Объемная плотность энергии (энергия единицы объема):
электростатическое поле 
, (15)
магнитное поле 
. (16)
Колебания и волны
1. Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина s изменяется со временем по закону синуса (косинуса):
s=A sin(w t+ j0) или s=A cos(w t+ j0), (1)
где A – амплитуда (максимальное значение колеблющейся величины); Т – период (время, за которое совершается одно полное колебание); ν – частота (количество колебаний в единицу времени); w – круговая частота колебаний (w=2πν); j=(w t+ j0) – фаза колебаний (показывает долю, которую колеблющаяся величина в данный момент времени составляет от максимального).
2. Система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. Колебания гармонического осциллятора описываются уравнением вида
. (2)
Решением дифференциального уравнения (1.4.2) является выражение (1.4.1).
3. Формулы периода колебаний различных осцилляторов
| Гармонический осциллятор | Период колебаний |
| Математический маятник массы m с длиной нити l | 
|
| Физический маятник с моментом инерции I, массой m и расстоянием от точки подвеса до центра масс l | 
|
| Пружинный маятник массы m c коэффициентом упругости k | 
|
| Колебательный контур с электроемкостью C и индуктивностью L | 
|
4. Реальные свободные колебания всегда являются затухающими. Затухающие колебания в линейных системах описываются дифференциальным уравнением
. (3)
Решением этого уравнения является выражение
, (4)
где A 0 – амплитуда колебаний в начальный момент времени, β – коэффициент затухания.
5. Логарифмический декремент затухания – логарифм отношения двух следующих друг за другом максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту же сторону:
=β Т. (5)
6. Колебания, происходящие под действием внешнего периодически действующего фактора, называются вынужденными. Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной называется резонансом.
7. Процесс распространения колебаний, периодический во времени и пространстве, называется волной. Если соответствующие волне колебания являются гармоническими, то волна называется гармонической:
ζ=A sin(w t-kх+ j0). (6)
Расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одной фазе, называется длиной волны λ. Длина волны равна расстоянию, на которое определенная фаза волны распространяется за период.
8. Электромагнитная волна представляет собой переменное электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве с конечной скоростью. Уравнение плоской электромагнитной волны имеет вид:
E=E 0sin(w t-kх+ j0), H=H 0sin(w t-kх+ j0), (7)
где E 0 и H 0 – соответственно амплитудные значения напряженностей электрического и магнитного полей, w - циклическая частота волны, k =2π/λ – волновое число.
Мгновенные значения E и H в любой точке связаны соотношением
(8)
9. Электромагнитные волны переносят энергию. Объемная плотность w энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей w эл и w м электрического и магнитного полей:
. (9)
Количественно перенос энергии волной характеризует вектор Умова–Пойнтинга:
, S = EH. (10)
Направление вектора Умова-Пойнтинга совпадает с направлением переноса энергии.
10. Интерференцией света называется явление наложения когерентных световых волн, в результате которого наблюдается перераспределение энергии светового потока в пространстве. Условия максимума и минимума интерференции имеют вид:
Максимум: Δ=2 k λ0/2; (k =0,1,2,3…) . (11)
Минимум: Δ=(2 k+ 1)λ0/2,
где λ0 – длина волны света в вакууме, Δ= n 2 S 2– n 1 S 1 – оптическая разность хода интерферирующих волн; n 1 и n 2 – показатели преломления сред, в которых волны распространяются; S – пройденный волной путь.
11. Методы наблюдения интерференции
