Получение разностного уравнения ЛНЧ в векторно-матричной форме

1 2 3 4 5 6

Пусть ЛНЧ (линейная непрерывная часть) (рис. **) описывается дифференциальным уравнением в векторно-матричной форме

(*)

Общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде

где - фундаментальная (переходная) матрица состояния,

- матрица, учитывающая влияние внешних возмущений,

- вектор состояния ЛНЧ.

Рассмотрим четыре случая работы мостового преобразователя.

1. Транзисторы открыты, а транзисторы закрыты (рис. **). Интервал на рис. **. Схема замещения преобразователя в этом случае будет выглядеть следующим образом (рис. **). Источник тока учитывает резкие изменения тока на выходе, например, сброс или наброс нагрузки. Для схемы запишем систему уравнений по первому и второму закону Кирхгофа.

Приведем его к нормальной форме Коши. После несложных математических преобразований получим

где .

Введем следующий вектор состояния ЛНЧ , где Т – знак транспонирования. Вектор внешних воздействий – . Тогда матрицы и запишутся:

Решение векторно-матричного дифференциального уравнения (**) на интервале запишется в следующем виде:

где , - единичная матрица.

Значение вектора состояния в конце интервала открытого состояния транзисторов , т.е. при определяется уравнением

,(**1)

где .

2. Транзисторы закрыты, ток протекает через диоды . Интервал времени на рис. **. Схема замещения преобразователя в этом случае будет выглядеть следующим образом (рис. **).

Запишем систему уравнений по законам Кирхгофа

Приведем его к нормальной форме Коши. После несложных математических преобразований получим

Матрицы и запишутся:

Решение векторно-матричного дифференциального уравнения (**) на интервале запишется в следующем виде:

где .

Значение вектора состояния в момент времени определяется уравнением

,(**2)

где .

3. Транзисторы открыты, а транзисторы закрыты (рис. **). Интервал на рис. **. Схема замещения преобразователя в этом случае будет выглядеть следующим образом (рис. **). Для схемы запишем систему уравнений по первому и второму закону Кирхгофа.

Приведем его к нормальной форме Коши. После несложных математических преобразований получим

Матрицы и запишутся:

Решение векторно-матричного дифференциального уравнения (**) на интервале запишется в следующем виде:

где .

Значение вектора состояния в момент времени определяется уравнением

,(**3)

где .

4. Транзисторы закрыты, ток протекает через диоды . Интервал времени на рис. **. Схема замещения преобразователя в этом случае будет выглядеть следующим образом (рис. **).

Приведем его к нормальной форме Коши. После несложных математических преобразований получим

Матрицы и запишутся:

Решение векторно-матричного дифференциального уравнения (**) на интервале запишется в следующем виде:

где .

Значение вектора состояния в момент времени определяется уравнением

,(**4)

где .

Для упрощения расчетов будем считать что напряжение питания не меняется с течением времени, а изменение дополнительного тока нагрузки происходит в начале каждого интервала дискретизации. Тогда можно положить, что на интервале .

Используя уравнения (**1) – (**4) получим разностное уравнение ЛНЧ на интервале дискретизации. При преобразовании уравнения учтем, что . В результате преобразования имеем: