2020-10-12
216
Пусть ЛНЧ (линейная непрерывная часть) (рис. **) описывается дифференциальным уравнением в векторно-матричной форме
(*)
Общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде
,
где 
- фундаментальная (переходная) матрица состояния,
- матрица, учитывающая влияние внешних возмущений,
- вектор состояния ЛНЧ.
Рассмотрим четыре случая работы мостового преобразователя.
1. Транзисторы 
открыты, а транзисторы 
закрыты (рис. **). Интервал 
на рис. **. Схема замещения преобразователя в этом случае будет выглядеть следующим образом (рис. **). Источник тока 
учитывает резкие изменения тока на выходе, например, сброс или наброс нагрузки. Для схемы запишем систему уравнений по первому и второму закону Кирхгофа.
Приведем его к нормальной форме Коши. После несложных математических преобразований получим
где 
.
Введем следующий вектор состояния ЛНЧ 
, где Т – знак транспонирования. Вектор внешних воздействий – 
. Тогда матрицы 
и 
запишутся:
Решение векторно-матричного дифференциального уравнения (**) на интервале 
запишется в следующем виде:
,
где 
, 
- единичная матрица.
Значение вектора состояния в конце интервала открытого состояния транзисторов 
, т.е. при 
определяется уравнением
,(**1)
где 
.
2. Транзисторы 
закрыты, ток протекает через диоды 
. Интервал времени 
на рис. **. Схема замещения преобразователя в этом случае будет выглядеть следующим образом (рис. **).
Запишем систему уравнений по законам Кирхгофа
Приведем его к нормальной форме Коши. После несложных математических преобразований получим
Матрицы 
и 
запишутся:
Решение векторно-матричного дифференциального уравнения (**) на интервале 
запишется в следующем виде:
,
где 
.
Значение вектора состояния в момент времени 
определяется уравнением
,(**2)
где 
.
3. Транзисторы 
открыты, а транзисторы 
закрыты (рис. **). Интервал 
на рис. **. Схема замещения преобразователя в этом случае будет выглядеть следующим образом (рис. **). Для схемы запишем систему уравнений по первому и второму закону Кирхгофа.
Приведем его к нормальной форме Коши. После несложных математических преобразований получим
Матрицы 
и 
запишутся:
Решение векторно-матричного дифференциального уравнения (**) на интервале 
запишется в следующем виде:
,
где 
.
Значение вектора состояния в момент времени 
определяется уравнением
,(**3)
где 
.
4. Транзисторы 
закрыты, ток протекает через диоды 
. Интервал времени 
на рис. **. Схема замещения преобразователя в этом случае будет выглядеть следующим образом (рис. **).
Приведем его к нормальной форме Коши. После несложных математических преобразований получим
Матрицы 
и 
запишутся:
Решение векторно-матричного дифференциального уравнения (**) на интервале 
запишется в следующем виде:
,
где 
.
Значение вектора состояния в момент времени 
определяется уравнением
,(**4)
где 
.
Для упрощения расчетов будем считать что напряжение питания 
не меняется с течением времени, а изменение дополнительного тока нагрузки 
происходит в начале каждого интервала дискретизации. Тогда можно положить, что 
на интервале 
.
Используя уравнения (**1) – (**4) получим разностное уравнение ЛНЧ на интервале дискретизации. При преобразовании уравнения учтем, что 
. В результате преобразования имеем:
Чтобы найти решение этого уравнения необходимо найти длительности 
и 
. При сигнале задания 
