Перпендикулярные прямые

Лекция №1

Элементарная геометрия

Построение курса геометрии. Основные понятия геометрии.

Геометрия – математическая дисциплина, рассматривающая и изучающая свойства различных объектов, расположенных определенным образом в пространстве.

Как и в любой математической дисциплине, определить все понятия, встречающиеся в геометрии, невозможно. Поэтому при любом построении курса элементарной геометрии приходится выделять несколько геометрических понятий, которые берутся за основные, первичные, или неопределяемые. Считается, что эти понятия обладают известными свойствами и зависимостями, которые принимаются без доказательства и называются аксиомами.

К таким неопределяемым понятиям в элементарной геометрии относятся:

· точка

· прямая

· плоскость

· отношение принадлежности для точек, прямых и плоскостей, выражаемое словом «принадлежать»

· отношение порядка для точек на прямой, выражаемой словом «лежать между»

· длина для отрезков и

· градусная мера для углов

Все что предполагается известным об этих понятиях выражается аксиомами. впервые систему аксиом мы встречаем в «Началах» Евклида, однако его система аксиом была неполной.

Современная система аксиом состоит из пяти групп. Например:

· Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну

· Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну

(аксиомы принадлежности)

· Если точка В лежит между точками А и С, то все три точки принадлежат одной прямой

· Из трех точек прямой только одна лежит между двумя другими

(аксиомы порядка)

· Через данную точку вне данной прямой можно провести на плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную

(аксиома параллельности)

С помощью основных понятий определяются все остальные понятия. Все предложения о свойствах геометрических фигур, не содержащиеся в аксиомах, должны быть доказаны чисто логическим выводом из этих аксиом. Такие предложения называются теоремами.

Предложением, обратным данному, называется другое предложение, в котором заключение полностью или частично совпадает с условием первого предложения и обратно.

Следствием называется предложение, непосредственно вытекающее из теоремы.

Леммой называется подготовительное предложение, вводимое для того, чтобы облегчить доказательство последующего предложения.

Дать определение чему-либо - значит  объяснить, что это такое, ссылаясь на неопределяемые понятия или другие понятия, которые уже должны быть известны.

Строение курса геометрии можно охарактеризовать так:

1. Перечисляются основные неопределяемые понятия геометрии

2. Формулируются аксиомы

3. На основе введенных понятий даются определения всем остальным геометрическим понятиям

4. На основе аксиом и определений доказываются аксиомы, которые в свою очередь используются для доказательства других теорем в курсе геометрии.

 

Простейшие геометрические фигуры и их свойства

Геометрической фигурой называют такие множества точек, которые можно представить состоящими из конечного числа точек (например, треугольник задается тремя точками – своими вершинами, тетраэдр - четырьмя)

Отрезок

Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка.

Свойства отрезка описываются в следующих двух аксиомах:

· Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими

· Каждый отрезок имеет длину большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Длину отрезка также называют расстоянием между концами этого отрезка

Полупрямая (луч)

Полупрямой называется часть прямой, которая состоит из всех точек прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки. Эту точку называют начальной точкой полупрямой.

Две полупрямые одной прямой с общей начальной точкой называются дополнительными.

Следующая аксиома связывает отрезки и полупрямые:

· На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины и только один

Полуплоскость

· Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Это разбиение обладает следующим свойством: если концы какого-либо отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямой; если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, то отрезок пересекается с прямой.

Угол

Углом называется фигура, которая состоит из точки (вершины угла) и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки (сторон угла)

основное свойство измерения углов описывается следующей аксиомой:

· Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°.

Развернутый угол – угол образованный двумя дополнительными полупрямыми.

· Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Говорят, что луч лежит между сторонами угла, если он пересекает любой отрезок с концами на сторонах угла.

· От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой и притом только один

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие – дополнительные полупрямые.

Теорема: Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство: самостоятельно

 

Следствие1: Если два угла равны, то смежные с ними углы равны

Следствие2: Если угол неразвернутый, то его градусная мера меньше 180°.

Угол, градусная мера которого равна 90°, называется прямым.

Следствие3: угол, смежный с прямым – прямой.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми для сторон другого угла.

Теорема: Вертикальные углы равны

Доказательство: самостоятельно

 

Параллельные прямые

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Ранее указанная аксиома параллельности прямых выражает основное свойство параллельных прямых.

Теорема: Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой

Доказательство: самостоятельно

 

 

При пересечении двух прямых секущей образуются следующие пары углов:

(укажите их)

Внутренние накрестлежащие – 2 пары

(                                                    )

 

Внутренние односторонние – 2 пары

(                                                    )

 

Соответственные – 4 пары

(                                                   )

 

Признаки параллельности прямых:

1. Если внутренние накрестлежащие углы равны, то прямые параллельны

2. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны

3. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Следствие: Две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой, параллельны между собой.

Для признаков параллельности прямых справедливы и обратные теоремы, которые являются свойствами параллельных прямых. Сформулируйте их

 

1.

 

2.

 

3.

 

Теорема Фалеса: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство: Пусть | A₁A₂ |=| A₂A₃ |, где А₁ А₂ А₃ – точки пересечения параллельных прямых с одной стороной угла, и А₂ лежит между А₁ и А₃. Нужно доказать, что | В₁В₂ |=| В₂В₃ |, где В₁ В₂ В₃ – соответственно точки пересечения параллельных прямых с другой стороной угла. Через точку В₂ проведем прямую EF, параллельную А₁А₃. Тогда четырехугольник А₁А₂В₂F является параллелограммом. По свойству параллелограмма А₁А₂ = FВ₂. Аналогично параллелограммом является четырехугольник А₃А₂В₂Е, и В₂Е = А₂А₃. Отсюда получаем, что В₂F = B₂E. Рассмотрим треугольники D В₂В₁F и D ЕВ₂В₃ они равны

(поясните почему:

 

 

)

следовательно, В₁В₂ = В₂В₃.

 

Теорема: Два угла, стороны которых соответственно параллельны, равны, или их сумма равна 180°, смотря по тому, имеют ли оба угла одинаковое или различные направления.

Доказательство: Рассмотрим все возможные случаи расположения таких углов:

1) Очевидно, что Ð1=Ð2 как соответственные углы при параллельных прямых.

 

2) Ð1+Ð2=180° как односторонние углы при параллельных прямых

 

 

3) Ð1=Ð3 как соответственные углы при параллельных прямых.

Ð2=Ð3 как соответственные углы при параллельных прямых.

Следовательно, Ð1=Ð2.

 

           

4) Ð2=Ð3 как соответственные углы при параллельных прямых

Ð1+Ð3=180° как односторонние углы при параллельных прямых

Следовательно, Ð1+Ð2=180°.

5) Ð1+Ð3=180° как односторонние углы при параллельных прямых

аналогично Ð2+Ð3=180°

Отсюда получаем что Ð1=Ð2.

Теорема: Два угла, стороны которых соответственно перпендикулярны друг другу, равны, или их сумма равна 180°, в зависимости от того, имеют ли оба угла одинаковое направление или различные.

Доказательство: самостоятельно

 

Перпендикулярные прямые

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются пол прямым углом.

Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, имеющий концом их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Теорема: Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую и притом только одну.

Доказательство:

Пусть А Î а. Докажем, что через точку А можно провести b ^ a. Обозначим через а₁ одну из полупрямых прямой а с началом в точке А. Отложим от полупрямой а₁ угол Ð(а₁b)=90°. Тогда прямая содержащая полупрямую b будет перпендикулярна прямой а.

Докажем единственность. Допустим, что существует другая прямая, также проходящая через точку А перпендикулярно прямой а. Обозначим через с полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b. Получим противоречие аксиоме, что в данную полуплоскость от данной полупрямой можно отложить только один угол с заданной градусной мерой. Таким образом, перпендикуляр единственен.

Теорема: Через точку, не лежащую на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и только один.

Доказательство: Покажем, что такой перпендикуляр существует, т.е. его можно построить. Возьмем на прямой а некоторую точку А. Через нее проведем перпендикуляр к прямой а (прямая b). Через точку О проведем прямую, параллельную прямой b (прямая с). Тогда с ^ а.

Докажем единственность. Допустим, что через точку О можно провести еще хотя бы один перпендикуляр к прямой а - ОВ. В этом случае мы получим треугольник D ОВС с двумя прямыми углами, что невозможно. Следовательно, перпендикуляр единственен.

 

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-либо точки взятой на на одной из параллельных прямых, до другой прямой.

Наклонной к данной прямой называется отрезок, имеющий концами точки пересечения этой прямой с данной и перпендикуляром к данной прямой.

АС – наклонная

АВ – перпендикуляр

ВС – проекция

С – основание наклонной

 

 

Если к прямой из одной точки проведены наклонная и перпендикуляр, то

1) Любая наклонная больше перпендикуляра

2) Равные наклонные имеют равные проекции

3) Из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

(следует из теоремы Пифагора – доказать самостоятельно)

 

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему называют серединным перпендикуляром.

Теорема: Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку одинаково удалена от концов этого отрезка.

Доказательство: самостоятельно