2020-10-12
85
Прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.
Теорема: Если плоскость β проходит через прямую a, параллельную плоскости α, и пересекает эту плоскость по прямой b, то b//а
Доказательство: самостоятельно.
Прямую b иногда называют следом плоскости β на плоскости α.
Теорема: Прямая, параллельная плоскости, параллельна бесчисленному множеству прямых, лежащих в этой плоскости и параллельных между собой.
Доказательство:
Через точку АÎa и прямую а проведем плоскость p, которая пересечет a по прямой а¢. по предыдущей теореме прямая а¢//а. В плоскости a бесконечно много прямых, параллельных прямой а¢. Все они параллельны между собой и параллельны прямой а. 
Замечание: Все остальные прямые плоскости a не параллельны прямой а, т.к. не параллельны а¢. Поэтому заменить в формулировке слова «бесчисленному множеству прямых» на «всем прямым» нельзя!
Теорема: Если одна из двух параллельных прямых пересекает некоторую плоскость, то и другая прямая также пересекает эту плоскость.
|
|
|
Доказательство:
Проведем плоскость b через а и а ¢. Плоскость b с плоскостью a имеют общую точку А, следовательно они имеют общую прямую b. Прямая bÎb и пересекает прямую а, а значит пересекает и прямую а¢ в некоторой точке А¢. Но с другой стороны bÎa, и т.к. А¢Îb, то А¢Îa, и значит а¢ и a имеют общую точку, т.е. а¢ пересекает a.
Теорема: Если одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости, то и другая параллельна этой плоскости (или лежит в ней)
Доказательство: самостоятельно (от противного)
Теорема: Через любую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой и притом только одна.
Доказательство: самостоятельно
