Геометрический смысл производной

Приложение производной.

Геометрический смысл производной 1) f ' (x0) – это тангенс угла наклона касательной к f(x) в т. х₀ (с положительным направлением оси OX)  f '(x0) = tg α
2) f ' (x0)- это угловой коэффициент касательной к функции у= f (x) в точке с абсциссой х₀. f '(x0)=k

 

2.Физический смысл производной:

x (t) - уравнение движения (изменение координаты (x) в зависимости от времени)

S(t) - закон перемещения тела по времени

v(t) = x' (t) (скорость - это производная координаты по времени)

v(t) = S' (t) (скорость - это производная перемещения по времени)

a(t) = v' (t) (ускорение - это производная скорости по времени)

Производная от функции в данной точке- это скорость изменения функции

v(t) = f '(x).

Примеры.

 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t² – 7t – 20, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) и ускорение (в м/с²) момент времени t = 5 c.

Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)

Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.

При t = 5 имеем:

Найдем формулу для ускорения: а (t) = v ′(t) = 2 м/с².

Ответ: 3 м/с, 2 м/с².

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/6) t² + 5t + 28, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

Найдем закон изменения скорости:

Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:

Ответ: 3с.

3. Найдите угловой коэффициент касательной для функции у= 2 +х в точке х₀=5.

Воспользуемся формулой k = f '(x₀): (х) = (2 +х)^/= 2*2х+1= 4х+1.

Далее подставим в полученную формулу значение х₀=5: (5)= 4*5+1=21.

Ответ: 21.

4. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку М (-3;9) графика функции у= х²+4.

Воспользуемся формулой tg  = f '(x₀): = f '(x) = (х²+4)^/ = 2х+0 = 2х.

Далее подставим в полученную формулу значение х₀= -3: tg (-3) =2*(-3) = -6.

Ответ: -6.

Решите задачи:

1.Тело движется по прямой так, что расстояние  до него от некоторой точки  этой прямой изменяется по закону (м), где  - время движения в секундах. Найдите скорость и ускорение тела через 3 секунды после начала движения.

2. Тело движется по прямой так, что расстояние  до него от некоторой точки  этой прямой изменяется по закону (м), где  - время движения в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 15 м/с.

3. Тело движется прямолинейно по закону (м). Найдите скорость, и ускорение в момент времени (с). В какой момент времени  тело остановится?

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t² – 48t + 17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t = 9 c.

5. Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t² – 13t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

6. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе в данной точке:

1) у=-х²+х в точке х₀=-2;

2)у= х²-3х+2 в точке х₀=3.

7. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении двух тел задана уравнениями: , . В какой момент времени их скорости будут равны?

8. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении тел задана уравнениями: , . В какой момент времени скорости их движения будут равными?