Пространственная статика

Моментом силы относительно оси называется проекция момента этой силы, вычисленного относительно произвольной точки, лежащей на этой оси, на заданную ось.

Главной задачей пространственной статики является нахождение реакций опор механической системы, находящейся в равновесии.

Задачи по теме плоская статика решаются при помощи простого алгоритма: сначала записываются проекции сил на координатные оси (X,Y,Z), потом составляются уравнения моментов относительно этих же осей.

                     

 

Примеры решения задач на практике:

B

Xb

P

Z

Дано:                                     Решение:

MB

Yb

α =30

b

α

P

Q

a

T

Za

A

,Xa,Ya,Za,

Ya

Xa

X

Y

Cоставим уравнения проекция на оси:

∑х: x_a + x_b + T  sin α = 0

∑y: y_a + y_b + T  cos α = 0

∑z: z_a – Q = 0

Составим уравнения моментов относительно координатных осей:

∑M_x: y_b

∑M_y: x_b T  sin α

∑M_z: -2

T = P/2

z_a = Q = 10 кН

x_b = (P 2(a+b) = 0.83 кН

T = 2.2 кН

X_a = - 1.1 – 0.83 = -1.93 кН

y_b = (-P 2(a+b) = - 1.44 кН

y_a = 1.44 – 2.2 0.16 = -0.46 кН

Ответ: z_a = 10 кН, x_b = 0.83 кН, T = 2.2 кН, X_a = -1.93 кН, y_b = - 1.44 кН, y_a = -0.46 кН.

 

 

Дано:                                                                                    Решение:

 

Составим уравнения равновесия:

X:

Y: 0

Z:

:

:

 

Решим систему уравнений:

 

 

 

 

 

Ответ: ; ; ; ;

 

Пример решения задач из домашнего задания:

Домашняя задача из сборника Мещерского, № 8.27.
Однородная горизонтальная плита веса P, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, прикреплена неподвижно к земле шестью прямолинейными стержнями. Определить усилия в опорных стержнях, обусловленные весом плиты, если концы стержней прикреплены к плите и неподвижным устоям шаровыми шарнирами.

 

                                           а

 

                                                                   b

 

 

                                                                                 

 

Дано:                             Решение:

a, b – стороны               Спроецируем реакции на ось X:

P – вес пластины          ∑х: S₁  + S₅  = 0

S_1; S₂;S_3;                             Cпроецируем реакции на ось Y:

S_4; S_5; S₆ -?                    ∑y: - S₃  = 0

                                       Спроецируем реакции на ось Z:

                                    ∑z:S₁ +S₂+S₃ +S₄+S₅ +S₆+P=0

                                    Составим уравнение моментов на ось Х, Y, Z:

                                    ∑M_x: -P S₄ + S₆ + S₅

                                    ∑M_y: -P  + S₆

                                    ∑M_z: - S₅

                                      Из уравнений следует, что:

                                      S₃ = S₅ = 0

                                      S₁ = 0

                                      S₆ = P/2 = S₂

                                      S₄ = 0

                                     Ответ: S₆ = S₂ = P/2.                             Домашняя задача 8.19 из сборника Мещерского.
Однородная прямоугольная крышка веса P = 400 Н удерживается при открытой на 60 градусов над горизонтом противовесом Q. Определить, пренебрегая трением на блоке D, вес Q и реакции шарниров A и В, если блок D укреплен на одной вертикали с А и АD = AC.

 

 

 

 

Дано:                              Решение:

P = 400 Н                       Спроецируем реакции на ось X:

α = 60                             ∑х: X_a + X_b – Q  = 0

AD=AC                          Спроецируем реакции на ось Y:

X_a, Z_a, X_b, Z_b                             ∑y: 0

P -?                                Спроецируем реакции на ось Y:

                      ∑z: Z_a + Z_b + Q  – P = 0

                    Составим уравнение моментов на ось Х, Y, Z:

                      ∑M_x: Z_b  

                      ∑M_y: - Q

                      ∑M_z: -X_b

                    Выразим неизвестные величины:

                   X_b

                    Z_b = P/2 = 200 Н

                      Q = P / (4  = 103.52 Н

                    X_a = - X_b + Q  = 100 Н

                    Z_a = P - Q  - Z_b = 173.2 Н

Ответ: X_b , Z_b = 200 Н, Q = 103.52 Н, X_a = 100 Н, Z_a = 173.2 Н.

 

 

R

z

Дано:                                                           Решение:

C

T = 4кН

c

G = 3кН

D

B

а = с = R = 0,15м

b

F

b = 0,2м

E

r = 0,1м

a

r

y

A

 

x

                                                                            CD || || EF ||

                                                                           T = 2t;

 

                             Составим уравнения равновесия:

                             X:

                             Y:

                             Z:

:

:

:

Решим систему уравнений:

Ответ:

4,16	0,571	3	5,16	0,243	0,429	0,493	1,33