Равновесие пространственной системы параллельных сил

Решение.

 — модуль главного вектора. Находим проекции главного вектора на оси координат:

 

Модуль главного момента

Находим проекции главного момента на оси координат:

Углы, образованные главным вектором и главным моментом с осями координат:

Ответ. R₀ = 15,75 Н, М₀= 15,52 Н*м.

 

Условием равновесия пространственной произвольной системы сил является одновременное обращение главного вектора и главного момента системы в ноль:

 

 

Уравнения равновесия получаются в виде системы шести уравнений из условий равновесия с использованием выражений для проекций главного вектора и главного момента

 

Пример.

Прямоугольная однород­ная плита весом Р удерживает­ся в горизонтальном положе­нии тросом СС’. Определить реакции связей, если Р= 100 Н, F = 40 Н, а = 30°,  = 60°, F ║ zAy.

Решение. Используя прин­цип освобождаемости от свя­зей, заменим действие связей реакциями, приложенными к плите. В точке А (сферический шарнир) будут три состав­ляющие: , , .

  В точ­ке В — две составляющие: , . Реакцию нити  направим по линии СС’. Для уравновешенной произвольной пространственной системы сил соста­вим шесть уравнений равновесия:

          

 

Находим из (6).

Из (5).               

из (4).               

из (1).              

из (2).               

из (3).                  

Ответ. Х_B= 16,33 H, Z_В = -28,28 H, X_A = 101,09 H, Y_A= 39,51 H, Z_A = 78,28 H, T=156,56Н.

Минус показывает, что направление Z_B противоположно направлению, показанному на рис.

 

Равновесие пространственной системы параллельных сил

Для пространственной системы параллельных сил можно со­ставить три уравнения равновесия. Если силы параллельны оси Z, то имеем следующие уравнения равновесия:

Квадратная однород­ная плита весом Р нахо­дится в равновесии. Оп­ределить реакции связей, если P = 100 Н; F = 20 H (рис. 14).

Решение. Рассмотрим равновесие плиты под действием системы па­раллельных сил  ,   и реакций связей _A, _B, _D. Составим три уравнения равно­весия:

Находим из (2). R_B =-F + 0,5P =-20 + 0,5-100 = 30Н,

из (3).               R_D =-0,5P+F = -0,5 100 + 20 = - 30 Н,

из (1).               R_A =-R_B+R_D+P-F = -30-30 +100-20 = 20 H.

Ответ. R_A= 20 Н, R_B = 30 Н, R_D = -30 Н.

Минус показывает, что реакция связей R_D направлена про­тивоположно направлению, показанному на рис.

Возможные случаи приведения пространственной произвольной системы сил:

 

			Дополнительное        условие	Простейший вид системы
1				Условия равновесия
2				Равнодействующая
3				Пара сил
4				Равнодействующая
				Силовой винт (сила и пара)

 

Пример.

Привести систему сил, действующую на куб, к простейшему ви­ду, если а = 2 м, F₁ = 8 Н, F₂ = 16 Н, F₃ = 8 Н, F₄ = 8  Н (рис. 6).

Решение. Определим модуль и направление главного вектора:

Определим модуль и направление главного момента:

Следовательно, система сил приводится к главному моменту, лежащему в плоскости Oxz. Направление главного момента опре­деляется найденными косинусами.

  Приведение к равнодействующей

а) 0,

Система сил приводится к равнодействующей, равной глав­ному вектору по модулю и направлению и проходящей через центр приведения.

Пример.

Привести систему сил к простейшему виду, если Р₁ = Р₂= Р₃ = 4 Н, а = 10 м, b = 16 м, с = 6 м.

Решение. Определим модуль и направление главного вектора системы сил:

 

 

Определим модуль и направление главного момента:

Ответ. Система сил приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит через начало координат

б) 0, . Система сил приводится к равнодействующей, равной по модулю и направлению главному вектору и отстоящей от центра приведения на расстоянии . Линия действия равнодействующей называется центральной осью системы.

Пример.

Привести систему сил к равнодействующей, если главный век­тор

(Rо = 20 Н) перпендикулярен главному моменту ( M₀ = 80 Н*м) в центре приведения O

Решение. Главный момент заменим парой сил (), со­храняя его величину. Значение силы в паре примем равной ве­личине главного вектора: R = R’ = R_o = 20 Н.

Плечо пары

Направление вращения пары соответствует главному момен­ту. Получим в точке О две равные по модулю и противоположно направленные силы, которые являются уравновешенной системой сил (аксиома 1):

. Следовательно, получим что

Линия действия равнодействующей в точке А будет цен­тральной осью системы.

Приведение системы сил к динаме (динамическому винту)

Известно, что 0,

Система сил приводится к динаме (динамическому винту). Динамой называют совокупность силы и пары сил, векторный момент которой направлен параллельно вектору силы. Линию действия динамы называют центральной винтовой осью. Главный момент раскладываем на направление главного век­тора и перпендикулярно главному вектору:   М₁=М₀ cosa, М₂=М₀ sina,

Так как , то эта система сил приводится к равнодействующей, которая находится от точки приведения на расстоянии:

Пара сил с векторным моментом M₁=M₀cos a является свободным вектором и поэтому поэтому  перенесем в точ­ку О₁, где приложена рав­нодействующая. Получим в точке О₁, систе­му, эквивалентную исходной системе сил:

где — динама.

Пример

В центре приведения О главный вектор (R_о = 20 Н) и главный момент (Mo = 40 Н*м) расположены в плоскости ZOX и образуют угол в 60°. Определить момент динамы и линию ее действия.

Решение. Момент динамы равен M₁=M₀cos 60⁰=

=40 * 0,5 = 20 Н*м. Динама отстоит от точки О на расстоянии:

Значение d необходимо откладывать по напралению оси Y в соответствии с правилом знаков для момента .