Библиотека конечных элементов

Введение

 

Использование численных методов при проектировании различных конструкций и машин продиктовано необходимостью постоянного повышения надёжности и качества изделий, а также возможностью использовать новые современные материалы, учитывать сложные условия работы современных конструкций при необходимости повышать их конкурентоспособность и надёжность[1,2] Максимальный эффект от использования технологий численного инженерного анализа достигается при их использовании, начиная с самых ранних стадий проектирования. При этом снижаются стоимость изделия, вероятность возникновения рисков и срок выпуска изделия на рынок.

Обычно инженер-конструктор для предварительной оценки прочности/работоспособности конструкции применяет инженерные подходы, которые в основном состоят из представления конструкции в виде простых узлов и элементов, для которых существуют аналитические оценки поиска напряжённо-деформированного состояния. К таким оценкам можно отнести использование простейших формул для поиска напряжений в балках при их растяжении, изгибе или кручении, поиска относительного удлинения, моментов инерции, сил реакции и т.д. Инженер - конструктор вынужден работать с большим количеством специализированной литературы для поиска необходимых выражений и законов.

С началом использования систем численного анализа все меняется. Инженер обретает возможность моделировать конструкции и машины любой сложности с любой степенью детализации. У него появляется инструмент для анализа реального распределения напряжений и деформаций в конструкции.

Основная часть

Конечно – элементный анализ

Основы конечно – элементного анализа

Первые разработки метода конечных элементов (МКЭ) были выполнены в 50-х годах для решения задач сопротивления материалов. В 60-е годы математики получили строгие формулировки для этого метода, после чего он становится общим средством изучения задач в частных производных, понемногу вытесняя метод конечных разностей, который рассматривался в период своего апогея как универсальное средство решения задач такого типа. После подробного математического его исследования оказалось, что при негладких входных данных задачи МКЭ часто сходится быстрее, чем метод конечных разностей, а иногда вообще обладает оптимальной скоростью сходимости. Начиная с 1970 г. этот метод становится все более популярным среди инженеров всех специальностей благодаря работам Зинкевича, Галлагера, Одена, Лиона, Равьяра, Сильвестера[1].

Базовый принцип, лежащий в основе КЭ анализа, состоит в разбиении математической модели рассматриваемой области на непересекающиеся подобласти (конечные элементы) и решении поставленной задачи на каждом элементе. Множество элементов, их свойств, граничных условий называется КЭ моделью. Поведение каждого элемента описывается определённым конечным числом степеней свободы, которые в сумме определяют число степеней свободы КЭ модели. Основные шаги МКЭ: идеализация, дискретизация решение системы дифференциальных уравнений. Под идеализацией будем понимать переход от реальной физической модели к упрощенной (измеренной) математической. Однако математические модели имеют бесконечное число степеней свободы, что влечёт за собой практическую нереализуемость решения задачи на сложной математической модели. Ограничение числа степеней свободы модели называется дискретизацией, а модель – дискретной моделью. Обратный дискретизации процесс называется континуализацией, а идеализации – идентификацией. Каждый этап численного моделирования вносит ту или иную погрешность в результаты расчёта.

Всегда следует помнить, что КЭ анализ – это всегда компромисс (или баланс) опыта самого инженера, точности результата, мощности вычислительной техники, времени расчёта, времени построения модели и т.д.

 

Идеализация геометрии и абстракция

Идеализация геометрии является процессом удаления или подавления элементов в модели, предшествующим созданию расчётной сетки. В целом можно использовать также и команды идеализации геометрии для создания дополнительных элементов и модификации существующих [2].

Например, можно использовать команды идеализации геометрии для:

· удаления элементов, таких как бобышки или отверстия, которые не важны с точки зрения численного анализа;

· изменения размеров идеализированной части, используя выражения между элементами; 

· разделения большого объёма на несколько маленьких объёмов для построения структурированной расчётной сетки;

·  создания срединной поверхности для построения КЭ моделей тонкостенных конструкций.

Система выполняет все операции идеализации на ассоциативной копии мастер - модели (идеализированной геометрии).

Абстракция геометрии – это набор операций, позволяющих создать определённые правила для генератора КЭ сетки. Операции абстракции выполняются в файле FEM для полигональной геометрии. Они не приводят к изменению геометрии, а лишь задают определённые правила, применяемые в процессе генерации КЭ сетки. Абстракция геометрии, например, позволяет исключить элементы геометрии, которые могут привести к построению расчётной сетки низкого качества или неадекватно заниженного размера элементов – пользователь может использовать команды абстракции для удаления очень маленьких или узких поверхностей, или рёбер, которые могут ухудшить качество конечных элементов в прилегающей области. Или добавить геометрические элементы в модель для последующего использования в численной модели – добавленные в полигональную геометрию ребра можно использовать для определения дополнительных нагрузок или ограничений.

Библиотека конечных элементов

В каждой программе, реализующей конечно-элементный анализ, описывается совокупность используемых элементов. Чем шире набор и функциональные свойства элементов, тем большими возможностями обладает тот или иной программный комплекс. Примеры некоторых конечных элементов, их графическое представление и краткое описание приведены в таблице 1. При этом не ставилась задача сравнить возможности библиотек тех или иных пакетов, равно как и не преследовалась цель описать все особенности, которыми отличаются элементы этих библиотек. Эти и многие другие сведения могут быть найдены в специальной литературе.

Конечные элементы обычно группируются по их назначению, например, 

· элементы стационарного и нестационарного теплообмена; 

· элементы для моделирования вязкоупругих и вязкопластичных материалов; 

· элементы сплошной среды для анализа движения потоков жидкости и газа, решения задач гидроаэромеханики, акустики и течения сред в каналах; 

· элементы для расчета статических и динамических напряжений; 

· элементы для анализов, включающих как тепловые, так и электрические эффекты; 

· элементы для анализа произвольно меняющихся во времени магнитных полей; 

· элементы связанной задачи для расчетов, в которых учитывается взаимовлияние результатов двух или более видов анализа (прочностного, теплового, магнитного, сплошной среды, электрического);

·   элементы для моделирования нелинейного контакта; 

· элементы комбинированные, матричные, поверхностные и др.

 

Таблица 1- Примеры конечных элементов

 

 

 

Конечные элементы предназначены для формализации задач в двумерной (2D) или трехмерной (3D) постановке. Графическими примитивами элементов являются «узел», «связь», «грань».

Элементы могут быть линейными или нелинейными (с промежуточными узлами в середине связи). Нелинейные элементы позволяют получать более достоверные результаты.