2020-10-09
106
Понятие непрерывности функции в точке
Определение. Функция 
называется непрерывной в точке 
, если:
1) функция определена в точке и ее окрестности;
2) существует конечный предел функции в точке ;
этот предел равен значению функции в точке , т.е. 
Замечание. При нахождении предела функции 
, которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть
Непрерывность функции на промежутке
Определение. Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Функция называется непрерывной справа в точке , если 
.
Функция называется непрерывной слева в точке , если 
.
Функция называется непрерывной в интервале 
, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция называется непрерывной на отрезке 
, если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть 
и непрерывной слева в точке 
, то есть 
.
Свойства функций непрерывных на отрезке:
1. Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.
Непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке.
2. Теорема Больцано-Коши. Если функция является непрерывной на отрезке и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть 
, 
, то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между 
и 
.
Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка 
такая, что 
.
Полезные теоремы о непрерывности функции
Теорема. Если функции и 
непрерывны в точке , то функции 
, 
, 
также непрерывны в точке .
Пусть функция 
задана на множестве 
, а 
- множество значений этой функции. Пусть на множестве задана функция 
. Тогда говорят, что на множестве задана композиция функций (или сложная функция) 
.
Теорема. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке 
. Тогда композиция функций непрерывна в точке .
Теорема. Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.
Приращение аргумента и функции
Рассмотрим функцию , которая определена в некотором интервале и рассмотрим произвольную точку 
из этого интервала: 
.
Определение. Приращением аргумента 
в точке называется разность 
Замечание. Из последнего равенства легко увидеть, что 
.
Приращением функции 
в точке называется разность соответствующих значений функции 
или, используя равенство из выше приведенного замечания, будем иметь:
Теорема. Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента 
соответствует бесконечно малое приращение функции 
:
