Линейная независимость

Система векторов называется линейно независимой, если из следует, что

Векторным пространством (над полем R или C) называют множество L, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные (комплексные) числа, удовлетворяющие следующим условиям:
1) x + y = y + x (коммутативность сложения);
2) (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);
3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x для любого вектора x;
4) для любого вектора x существует противоположный ему вектор y такой, что x + y = 0;
5) 1∙ x = x;
6) α(β x) = (αβ) x (ассоциативность умножения);
7) (α + β) x = α x + β x (дистрибутивность относительно числового множителя);
8) α(x + y) = α x + α y (дистрибутивность относительно векторного множителя).

Базис линейного пространства

Любой набор из N линейно независимых векторов называется базисом в пространстве R^N. Простейший пример базиса — это набор векторов

в каждом из которых только один элемент равен 1, а остальные равны нулю. Тогда любой вектор x = (x₁, x₂,...,x_N)^t может быть представлен как линейная комбинация x = x₁e₁+ x₂e₂₊...+x_Ne_N базисных векторов.

Базис, составленный из попарно ортогональных векторов, называется ортогональным, а если базисные вектора еще и нормированы, то этот базис называется ортонормированным.