2020-10-12
96
Рассмотрим два вектора a и b.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
(a b) = |a| |b| cos φ = a| |b| cos 
b
φ a
Заметим, что | b | cos φ = пр a b. Следовательно, (a b) = | a| пр a b или (a b) = | b| пр b a.
Понятие скалярного произведения имеет свой источник в физике. Действительно, если a - сила, b – перемещение, то (a b) – работа этой силы.
Свойства скалярного произведения.
1. 
2. ( λ a) b = λ(ab),
Доказательство.
.
3. a(b + c) = (ab) + (bc).
Доказательство.
4. Если векторы a и b перпендикулярны, то ( ab) = 0.
5. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
Скалярное произведение в координатах.
Пусть векторы a и b заданы своими координатами
a = {X1, Y1, Z1}, b = {X2, Y2, Z2}
Тогда
(a b) = (X1 i + Y1 j + Z1 k) (X2 i + Y2 j + Z2 k).
(i i) = i2 = | i| |i| cos 0 = 1, аналогично (j j) = (k k) = 1, (i j) = (i k) =…= 0.
Отсюда
(ab) = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2.
Угол между векторами.
b
φ a (ab) = | a | | b | , cos 
= 
Если векторы a и b заданы своими координатами, то
cos = 
.
П р и м е р.
a = {1, 2, -3}, b = {-1, 3, 1}. cos 
Проекция вектора на вектор.
(ab) = |b| пр ba
a
b пр ba = 
Векторное произведение.
Векторным произведением двух векторов a и b называется третий вектор с, длина которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный в ту сторону, что если смотреть с конца его, кратчайший поворот от a к b представляется происходящим против часовой стрелки (векторы a, b, с образуют правую тройку).
c = [ ab ] [ ab ] = c a
| c| = S пар = | a| |b| sin(a^b).
b b
c = [ ab ]
a
Свойства векторного произведения.
1. [ ab } = −[ ba ],
a
b
c = [ ab ]
2. [λ ab ] = λ[ ab ] или [ a λ b ] = λ[ ab ]
3. [ a (b + c)] = [ ab ] + [ ac ],
4. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.
Необходимость. Пусть a ║ b.
(a^ b) = 0
a b
b a (a^ b) = π
| c| = 0.
Достаточность.
Пусть | c | = 0. | a | | b | ≠ 0→ sin(a b) = 0, a ║ b.
Векторное произведение в координатах.
Пусть векторы a и b заданы своими координатами
a = {X1, Y1, Z1}, b = {X2, Y2, Z2}.
[ ab ] = [(X1 i + Y1 j + Z1 k) (X2 i + Y2 j + Z2 k)].
[ i i ] = [ j j ] = [ k k ] = 0, [ i j ] = k, [ j k ] = i, [ k i ] = j.
 |
i j
 | |||
 | |||
k
[ ab ] = (Y1Z2 – Z1 Y2) i – (X1Z2 – Z1X2) j + (X1Y2 – Y1X2) k = 
.
П р и м е р. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a = {2, -1, 0}, b = {1, 1, -2}.
c = [ ab ], Sпар = | c |, SΔ= ½ | c|.
b
a
