Правила действий с приближенными числами

Правила округления чисел

Все числовые значения (числа), полученные в результате различного рода измерений (в том числе и геодезических), являются приближенными. Это объясняется тем, что измерительные приборы не являются абсолютно точными, а также тем, что на результаты измерений существенное влияние оказывают внешние условия, в которых проводятся измерения.

Опускание (отбрасывание) излишних цифр младших разрядов называется округлением чисел, а разность между округленным и неокругленным числами называется ошибкой округления.

При геодезических вычислениях числа округляют по правилу, предложенному Гауссом. Это правило состоит в следующем:

- если отбрасываемый остаток числа менее 0,5 единицы предыдущего разряда, оставшиеся цифры не изменяют.

Пример. Если принять число π равным 3,141 593, то оно, округленное до.пяти знаков после запятой, будет равно 3,141 59;

- если отбрасываемый остаток числа более 0,5 единицы предыдущего разряда, последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу.

Пример. Число π, округленное до четырех знаков после запятой, будет равно 3,1416;

- если отбрасываемый остаток числа равен 0,5 единицы предыдущего разряда, число округляют в сторону четного.

Пример. Число 1,35 так же, как и число 1,45, округляется до 1,4.

Применение правила Гаусса при округлении позволяет:

- легко установить максимально возможную ошибку округления любого числа (она никогда не будет превышать 0,5 единицы последнего знака);

- значительно ослабить влияние ошибок округления на точность окончательного результата при действии с приближенными числами за счет компенсации ошибок округления, имеющих различные знаки – «плюс» и «минус».

При действиях с приближенными числами в каждом числе необходимо различать десятичные знаки, значащие цифры и верные цифры. Десятичными знаками называются все цифры, стоящие после запятой. Значащими цифрами называются все цифры числа, кроме нулей слева и нулей справа, которые в последнем случае заменяют неизвестные цифры. Верными называются цифры, доверие к которым не вызывает сомнения, а также цифры, ошибка округления которых не превышает 0,5 единицы последнего знака.

Примеры:

1. При измерении длины линии землемерной лентой получен результат 71,32 м. В этом числе два десятичных знака, четыре значащие цифры и только три верные цифры, так как на мерной ленте нет шкалы сантиметров, поэтому отсчеты, снятые глазомерно, имеют малую степень доверия.

2. В равенстве 1 км = 1000 м число 1000 имеет четыре значащие цифры, так как нули не заменяют собой неизвестные цифры, а являются верными цифрами.

Более точными числами считают те, в которых содержится большее количество десятичных знаков. Как правило, такими числами являются значения тригонометрических функций и другие табличные значения.

Менее точными числами считают те, в которых содержится меньшее количество десятичных знаков. Как правило, такими числами являются результаты различного рода измерений.

Действия с приближенными числами выполняют с соблюдением определенных правил.

Правило 1. При сложении приближенные числа округляют так, чтобы в них оставалось на один десятичный знак больше, чем в наиболее грубом слагаемом. Полученную сумму округляют до количества десятичных знаков наиболее грубого слагаемого.

Пример. Найти сумму чисел +1,2; -2,35; +3,454; +4,5543.

Решение. +1,2-2,35 + 3,45 + 4,55= +6,85= +6,8.

Правило 2. При вычитании не следует производить округление приближенных чисел, так как может произойти потеря точности окончательного результата (особенно в случае, когда уменьшаемое и вычитаемое – числа, близкие по абсолютной величине).

Пример. 47,104 - 47,1=0,004. Если уменьшаемое округлить, отбросив последний десятичный знак, то в результате разность будет равна нулю (47,10 - 47,1 = 0), что может внести ошибку в окончательный результат вычислений.

Правило 3. При умножении и делении приближенные числа округляют так, чтобы в них оставалось на одну значащую цифру больше, чем их имеется в числе с наименьшим количеством значащих цифр. Полученный результат округляют до числа, имеющего столько значащих цифр, сколько их имелось в числе с наименьшим количеством значащих цифр.

Примеры:

1. Найти произведение 12,2×73,564.

Решение. 12,2×73,56 = 897,5 = 898.

2. Найти частное от деления 25,713: 3,6.

Решение. 25,7: 3,6 = 7,14 = 7,1.

Правило 4. При умножении приближенного числа на точное число К ошибка произведения увеличивается в К раз, т. е. умножение понижает точность окончательного результата.

Пример. Приближенное число 1,2 имеет ошибку, равную половине последнего знака: ± 0,05. При умножении на точное число К = 5 получим 1,2×5 = 6,0. Если считать, что число 1,2 получилось в результате округления чисел 1,25 или 1,15, то получим 1,25×5 = 6,25 или 1,15×5 = 5,75, т. е. возможная ошибка конечного результата составит ±0,25.

Правило 5. При делении приближенного числа на точное число К ошибка частного уменьшается в К раз, т: е. деление повышает точность окончательного результата.

Пример. 1,2: 5 = 0,24. В тоже время 1,25: 5=0,25 и 1,15: 5 = 0,23, т. е. возможная ошибка результата составит всего ±0,01.

Правило 6. Следует избегать деления чисел на приближенное число с малым количеством значащих цифр, так как точность результата в этом случае снижается.

Пример. 5286: 0,25 = 21144, однако по правилу 3 можно записать только 21000.

Правило 7. При возведении приближенного числа в степень в окончательном результате сохраняют столько значащих цифр, сколько имелось их в самом приближенном числе.

Пример. 9,86² = 97,2.

Правило 8. При извлечении корня из приближенного числа в окончательном результате сохраняют столько значащих цифр, сколько имелось их в самом приближенном числе.

Пример. = 3,513.

Правило 9. При вычислениях с большим количеством операций (действий) во всех промежуточных результатах сохраняют на одну цифру больше, чем указано в предыдущих правилах. Это позволяет повысить, точность 'окончательного результата. Окончательный результат округляют согласно указанным правилам.

Контрольные вопросы и упражнения:

1. Какие числа называются округленными? Рассказать на примерах о правиле Гаусса по округлению приближенных чисел.

2. Какие цифры в приближенном числе называются десятичными знаками, значащими цифрами и верными цифрами? Привести пример. Какие числа являются более точными и менее точными?

3. Перечислить основные правила действий с приближенными числами.

4. Решить примеры:

а) 12,356 + 17,4 + 0,95 + 141,03;

15,493 - 14,03;

б) 16,392×21,3;

53,248: 7,4;

в) 12,3²;;

г) (88,213×214,3): (0,95×73,623).