double arrow

Основные действия над комплексными числами в алгебраической форме


· Сложение комплексных чисел.Суммой двух комплексных чисел z11+ib1 и z22+ib2, называется комплексное число, определяемое равенством:

z1+z2=(а1+ib1)+(а2+ib2)=(а12)+i(b1+b2).

· Вычитание комплексных чисел.Разностью двух комплексных чисел z11+ib1 и z22+ib2, называется такое комплексное число, которое, будучи сложено с z2, дает в сумме комплексное число z1:

z1-z2=(а1+ib1)-(а2+ib2)=(а12)+i(b1-b2).

· Умножение комплексных чисел.Произведением комплексных чисел z11+ib1 и z22+ib2 называется такое комплексное число, которое получается, если мы перемножаем эти числа как двучлены по правилам алгебры, учитывая только, что: i2=-1, i3=(i2i=(-1)·i=-i, i4=(i2)2=(-ii=-i2=1, i5=i и т. д.,

z1 z2=(а1+ib1)(а2+ib2)=а1а2+ib1а2+iа1b2+i2b1b2;

z1 z2=(а1а2-b1b2)+i(а2b1+a1b2);

Замечание 1: Произведение сопряженных комплексных чисел z=а+ib и`z=а-ib есть действительное число и выражается так: z`z=а2+b2. Произведение сопряженных комплексных чисел равняется квадрату модуля каждого из них.

· Деление комплексных чисел.Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению.

Замечание 2: Из правил действий над комплексными числами следует, что в результате операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел получается снова комплексное число – замкнутость операций.

Если правила действий над комплексными числами применить к действительным числам, рассматривая их как частный случай комплексных, то эти правила будут совпадать с обычными правилами действий, известными из арифметики.

Замечание 3 Вернувшись к определениям суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел, легко проверить, что если в этих выражениях заменить каждое комплексное число сопряженным, то и результаты указанных действий заменяются сопряженными числами.

Из замечания 3, в частности, вытекает следующая теорема:

Теорема:Если в многочлен А0хn1хn-1+...п с действительными коэффициентами подставить вместо х число а+ib, а затем сопряженное число а-ib, то и результаты этих подстановок будут взаимно сопряженными.

Заказать ✍️ написание учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Сейчас читают про: