· Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z1=а 1 +ib 1 и z 2 =а 2 +ib 2, называется комплексное число, определяемое равенством:
z1+z 2 = (а 1 +ib 1)+(а 2 +ib 2)=(а 1 +а 2) +i (b 1 +b 2).
· Вычитание комплексных чисел. Разностью двух комплексных чисел z1=а 1 +ib 1 и z 2 =а 2 +ib 2, называется такое комплексное число, которое, будучи сложено с z 2, дает в сумме комплексное число z 1:
z1-z 2 = (а 1 +ib 1)-(а 2 +ib 2)=(а 1 -а 2) +i (b 1 -b 2).
· Умножение комплексных чисел. Произведением комплексных чисел z 1 =а 1 +ib 1 и z 2 =а 2 +ib 2 называется такое комплексное число, которое получается, если мы перемножаем эти числа как двучлены по правилам алгебры, учитывая только, что: i 2=-1, i 3=(i 2)· i =(-1)· i =- i, i 4=(i 2)2=(- i)· i =- i 2=1, i 5= i и т. д.,
z1 z 2 = (а 1 +ib 1)(а 2 +ib 2)= а 1 а 2 +ib 1 а 2 +iа 1 b 2 +i 2 b 1 b 2;
z1 z 2 = (а 1 а 2 -b 1 b 2)+ i (а 2 b 1 +a 1 b 2);
Замечание 1: Произведение сопряженных комплексных чисел z = а+ib и` z = а-ib есть действительное число и выражается так: z`z=а 2 +b 2. Произведение сопряженных комплексных чисел равняется квадрату модуля каждого из них.
· Деление комплексных чисел. Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению.
Замечание 2: Из правил действий над комплексными числами следует, что в результате операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел получается снова комплексное число – замкнутость операций.
Если правила действий над комплексными числами применить к действительным числам, рассматривая их как частный случай комплексных, то эти правила будут совпадать с обычными правилами действий, известными из арифметики.
Замечание 3 Вернувшись к определениям суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел, легко проверить, что если в этих выражениях заменить каждое комплексное число сопряженным, то и результаты указанных действий заменяются сопряженными числами.
Из замечания 3, в частности, вытекает следующая теорема:
Теорема: Если в многочлен А 0 хn+А 1 хn -1 +... +Ап с действительными коэффициентами подставить вместо х число а + ib, а затем сопряженное число а - ib, то и результаты этих подстановок будут взаимно сопряженными.