Основные действия над комплексными числами в алгебраической форме

· Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z₁=а ₁ +ib ₁ и z ₂ =а ₂ +ib ₂, называется комплексное число, определяемое равенством:

z₁+z ₂ = (а ₁ +ib ₁)+(а ₂ +ib ₂)=(а ₁ +а ₂) +i (b ₁ +b ₂).

· Вычитание комплексных чисел. Разностью двух комплексных чисел z₁=а ₁ +ib ₁ и z ₂ =а ₂ +ib ₂, называется такое комплексное число, которое, будучи сложено с z ₂, дает в сумме комплексное число z ₁:

z₁-z ₂ = (а ₁ +ib ₁)-(а ₂ +ib ₂)=(а ₁ -а ₂) +i (b ₁ -b ₂).

· Умножение комплексных чисел. Произведением комплексных чисел z ₁ =а ₁ +ib ₁ и z ₂ =а ₂ +ib ₂ называется такое комплексное число, которое получается, если мы перемножаем эти числа как двучлены по правилам алгебры, учитывая только, что: i ²=-1, i ³=(i ²)· i =(-1)· i =- i, i ⁴=(i ²)²=(- i)· i =- i ²=1, i ⁵= i и т. д.,

z₁ z ₂ = (а ₁ +ib ₁)(а ₂ +ib ₂)= а ₁ а ₂ +ib ₁ а ₂ +iа ₁ b ₂ +i ² b ₁ b ₂;

z₁ z ₂ = (а ₁ а ₂ -b ₁ b ₂)+ i (а ₂ b ₁ +a ₁ b ₂);

Замечание 1: Произведение сопряженных комплексных чисел z = а+ib и` z = а-ib есть действительное число и выражается так: z`z=а ² +b ². Произведение сопряженных комплексных чисел равняется квадрату модуля каждого из них.

· Деление комплексных чисел. Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению.

Замечание 2: Из правил действий над комплексными числами следует, что в результате операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел получается снова комплексное число – замкнутость операций.

Если правила действий над комплексными числами применить к действительным числам, рассматривая их как частный случай комплексных, то эти правила будут совпадать с обычными правилами действий, известными из арифметики.

Замечание 3 Вернувшись к определениям суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел, легко проверить, что если в этих выражениях заменить каждое комплексное число сопряженным, то и результаты указанных действий заменяются сопряженными числами.

Из замечания 3, в частности, вытекает следующая теорема:

Теорема: Если в многочлен А ₀ хⁿ+А ₁ х^{n -1} +... +А_п с действительными коэффициентами подставить вместо х число а + ib, а затем сопряженное число а - ib, то и результаты этих подстановок будут взаимно сопряженными.