2014-02-04
979
Существуют два основных подхода к диагностированию ТС ОД:
1. вероятностный;
2. детерминистский.
Вероятностный подход – подход, при которомизвестна совокупность ДП, каждый из которых с определенной вероятностью характеризует ТС ОД.
Детерминистский подход - подход, при котором вероятность одного диагноза равна единице, а других - нулю.
Достоинство вероятностного подхода: является более общим.
Недостатки вероятностного подхода: необходим большой объем предварительной (априорной) информации, «угнетение» редко встречающихся диагнозов.
Достоинство детерминистского подхода: меньше зависит от избыточной информации, подобен логике мышления человека.
Недостаток детерминистского подхода: кратко описывает процесс диагностирования.
Рассматриваемый нами метод Байеса использует вероятностный подход.
- Способы представления ДП
ОД подразделяют на три класса:
1. непрерывные (аналоговые);
2. дискретные;
3. гибридные.
Непрерывные ОД имеют сигналы, принимающие значения из непрерывных множеств значений; время описания объекта отсчитывается непрерывно.
|
|
|
Дискретные ОД имеют сигналы, принимающие значения на конечных множествах; время отсчитывается дискретно.
Гибридные ОД представляют из себя совокупность непрерывных и дискретных ОД.
Рассмотрим более подробно работу ОД непрерывного типа.
Изобразим изменение во времени некоторого параметра (см. рисунок 1): по вертикальной оси отложим сам параметр 
, а по горизонтальной оси время t, обозначим верхний предел 
и нижний предел
.
Рисунок 1 – Изменение непрерывного диагностического сигнала
Непрерывный параметр называется диагностическим, если выход его значения за допустимые пределы и изменяет вид ТС ОД.
Таким образом, контроль непрерывного ДП заключается в его измерении и проверке выполнения неравенства
. (1)
Для целей диагностики непрерывную величину 
можно описать через дискретный признак 
, который имеет два значения:
, если неравенство (1) выполняется;
в противном случае.
В сложных ОД дискретный признак может принимать три значения:
, если 
;
, если неравенство (1) выполняется;
, если 
.
В общем случае непрерывная система характеризуется множеством ДП 
. Каждому ДП соответствует свой дискретный признак . Следовательно, при диагностировании можно использовать дискретное описание ОД. При этом состояние непрерывной системы описывается комплексом признаков
, (2)
где - признак, имеющий 
разрядов.
Пример представления ДП сложного ОД
Итак, рассмотрим работу газовой турбины. В качестве ДП используем температуру газа за турбиной, которая имеет три разряда (= 3):
|
|
|
1. пониженное значение 
;
2. нормальное значение 
;
3. повышенное значение 
.
В общем виде каждый разряд признака обозначается 
.
Фактически наблюдаемое состояние соответствует определенной реализации признака, что отмечается верхним индексом *. Например, при повышенной температуре реализация признака 
.
В общем случае ТС ОД соответствует реализация комплекса признаков:
. (3)
III. Вывод формулы Байеса
Предположим, что имеется простой признак , встречающийся при диагнозе 
. Вероятность наличия у ОД диагноза и признака (совместного появления событий) определяется
, (4)
где 
- вероятность диагноза (априорная вероятность диагноза). Так, если предварительно обследовано 
объектов и у 
объектов имелся диагноз , то
; (5)
- вероятность появления признака у объектов с диагнозом (условная вероятность). Если среди объектов, имеющих диагноз , у 
проявился признак , то
; (6)
- вероятность появления признака во всех объектах. Пусть из общего числа объектов признак был обнаружен у 
объектов, тогда
; (7)
- вероятность диагноза у объекта с признаком (апостериорная вероятность диагноза).
Из (4) вытекает формула Байеса
(8)
IV. Обобщенная формула Байеса
Эта формула относится к случаю, когда диагностирование проводится по комплексу ДП 
, включающему признаки 
Каждый из признаков имеет разрядов 
. В результате обследования известна реализация признака 
и всего комплекса признаков 
. Индекс * означает конкретное значение (реализацию) признака.
Формула Байеса для комплекса ДП имеет вид
(9)
где 
Формула (9) относится к любому из 
возможных состояний (диагнозов) системы. Предполагается, что система находится только в одном из указанных состояний, и потому сумма вероятностей всевозможных состояний ОД составляет 1
(10)
В практических задачах при большом числе ДП их считают независимыми друг от друга, вероятность появления комплекса признаков при наличии диагноза 
определяется как произведение вероятностей появления отдельных признаков
. (11)
Вероятность появления комплекса ДП определяется как сумма произведений вероятностей каждого из диагнозов 
и вероятностей появления каждого из ДП при наличии соответствующих диагнозов
. (12)
Подставляя в (9) формулу (12), обобщенная формула Байеса записывается в следующем виде
. (13)
Сумма вероятностей всевозможных состояний при появлении каждого из комплекса ДП равна 1
(14)
Другими словами один из диагнозов обязательно реализуется, а реализация одновременно двух диагнозов невозможна.
Следует обратить внимание на то, что знаменатель формулы Байеса для всех диагнозов одинаков.
V. Понятие диагностической матрицы
Для определения вероятности диагнозов по методу Байеса необходимо составить диагностическую матрицу (таблица 1), которая формируется на основе предварительного статистического материала. В этой таблице содержатся вероятности разрядов признаков при различных диагнозах.
Таблица 1 - Диагностическая матрица в методе Байеса
Если признаки двухразрядные (простые признаки «да-нет»), то в таблице достаточно указать вероятность появления признака 
. Вероятность отсутствия признака 
.
Более удобно использовать единообразную форму, полагая, для двухразрядного признака 
; 
.
Отметим, что при появлении признака 
можно записать 
, где — число разрядов признака , то есть сумма вероятностей всех возможных реализаций признака равна единице.
