Гармонические колебания и их характеристики. Смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебательном движении

Кинетическая и потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии.

Работа силы. Мощность.

Если материальное тело движется по произвольной траектории (рис. 1) материальное тело характеризуется радиус-вектором относительно т. О. На нее действует сила F.

Элементарной работой силы на малом перемещении т. М приложенной силы называется скалярное произведение на, то есть:

=()

=Fdrcosα

=() =()=()dt

, если:

1) dr=0;

2);

3) α<, >0;

4) α>, <0;

Мощностью N силы называется отношение элементарной работы, совершаемой этой силой F за малый промежуток времени к его длительности.

скорость перемещения точки перемещения силы.

Механика включает 2 вида энергии:

1.Кинетической энергией наз-ся энергия механического движения системы.

dW_k=(,dr)=(,)dt

dt=d =>dW_k=(d,v)= (d,)

(,d)= d(,)= d(²)= d

dW_k=(,d)= d(²)

W_k= ²= mv²

Для малого элемента массой dm кинет.энергия dWˈ_k, если этот элемент стоит на расстоянии r от оси вращения. dW_k= vdm= w²R²dm

W`_k= w²R²dm= w² K²dm= w²

W_k=W_k^пост+W_k^вращ= mv²+ w²

2.Кроме кинетич.энергии тело может обладать потенциальной энергией.

Если F(x,y,z) одинаковая во всех точках и направлениях;F(t)=const; то такая сила наз-ся консервативной.

В консервативных системах (действ. только внутри системы) работа действующих сил зависит от начального и конечного положения

A_1a2=A_1b2=A_12,

A_1a2b1=A_1a2+A_2b1=A_1a2-A_1b2=0

A= dr – уравнение циркуляции в-ра F вдоль замкн. Круга L=0.

Теорема о циркуляции: циркуляция вектора вдоль замкнутого круга L=0

А₁₂=W_n(1)-W_n(2)=-[ W_n(2)-W_n(1)]

Потенциальная энергия – величина, численно равная работе, кот-ю совершают все действующие на систему потенц. cилы при переводе этой системы из рассматриваемого состояния в состояние соответствующее его нулевой конфигурации.

Элементарная работа A=-dW_n => что потенциальной энергией механич.систназ-ся величина, численно = работе, которую совершают все действующие на систему потенциальные силы при переводе сист.из рассматриваемого состояния в состояние, соответствующее нулевой конфигурации.

Если рассматривать сист.из n материальных точек, то ее сист. кинетич.энергии W_k= (mv₁²+ _iw²)

Изменение кинетич.энергии при малом перемещении сист.=работе, совершенной этой системой.

dW_k= Для МТ

dW_k=

A_i= A_i^конс+ A_i^неконс

dW_k= +

A_i^неконс= A^неконс

A_i^конс= A^конс=-dW_n

З-н изменения энергии: dW_k=-dW_n+ A^неконс =>dW_k+dW_n= A^неконс

Изменение механич.энергии системы равно алгебраич. сумме работ всех неконс.сил, действующих на сист. Если сист. находится только в поле консервативных сил, то A^неконс =0 =>dW=0

З-н сохр.энергии: dW_k+dW_n=d(W_k+W_n)=0

W_k+W_n=const

Закон сохранения энергии:

Полная механическая энергия сист.мат.точек, находящаяся под действием только консервативных сил, остается постоянной.

Колебание – это движение или процесс, обладающий той или иной повторяемостью от времени.

В физике выделяют 3 вида колебаний:

1) механические (звук, вибрация);

2) электромагнитные (свет, радиоволны);

3) электромеханические (механические и электромагнитные вместе);

Различают также колебания:

Свободные – это колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие): колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.

Вынужденные – колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия (листья на деревьях, поднятие и опускание руки). При вынужденных колебаниях может возникнуть явление резонанса: резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты внешнего воздействия.

Автоколебания – колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы — механические часы). Характерным отличием автоколебаний от свободных колебаний является то, что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.

Гармонические колебания – колебания, совершаемые (изменяемые) по закону синуса (кисинуса).

X=Asin(t+α)

X=Acos(t+α), где X – смещение, t+α – фаза, α – начальная фаза, A – амплитуда.

Период колебания Т – это время, за которое фаза получает приращение 2π.

[ (t+Т)+α] = t+α+2π

T=

v = = =-A

a = = = = -A cos(

12. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Пружинный, математический и физический маятники

Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых колеб­лющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса):,, где -смещение,А - амплитуда колебания,w₀ —круговая (циклическая) частота,j —начальная фаза колебания в мо­мент времени t=0, — фаза колебания в момент времени t.

Запишем вторую производную по времени от гармонически колеблющей­ся величины x: (2).

Если сопоставить уравнения (1) и (2), то можно записать дифференциальное уравнение гармонических колебаний.Решением этого уравнения является функция. Константы и определяются начальными условиями. Все уравнения типа решаются по одному и тому же закону - круговая частота. Если какая–то сила действует на на колеблющее тело, то, где - жесткость (волновое число). Следовательно, сила пропорциональна смещению со знаком «-». Силы такого типа называется квазиупругими.

Пружинный, физический и математический маятники

1. Пружинный маятник — это груз массой m, подвешенный на упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F= –kx, где k —жесткость пружины.

Wп

Wп

Wк

W

А

x

-А

Пружинка длиной. Если на кончик пружинки прикреплен шарик массой m, то пружинка растянется под действием силы тяжести. Возникает уравновешенная сила.(3) Сместим шарик еще ниже на x. Смещение станет.

На шарик действует сила. С учетом (3) получаем (квазиупругая сила).

Если сообщить маятнику смещение, то начнутся колебания пружины: по 2-му закону Ньютона., где

2.

l

O

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеб­лющаяся под действием силы тяжести.

Если оттолкнуть нить, то возникнет вращающий момент:.

. Вращающий момент стремится вернуть маятник в положение равновесия. Следовательно, вращающий момент носит характер квазеупругой силы. Тогда. Если -малый угол, то. Тогда, учитывая, что у нас вращательное движение, т.е. момент силы равен моменту энерции ускорения:. или, а, а так как

3. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела.

- вращающий момент,. Следовательно, вращающий момент стремится вернуть маятник в положение равновесия. Вращающий момент носит характер квазеупругой силы. Тогда,,,. (приведенная).,, где.