Некоторые элементы функционального анализа сигналов. Сигналы как физические процессы можно изучать с помощью различных приборов и устройств

Классификация сигналов

Сигналы как физические процессы можно изучать с помощью различных приборов и устройств. Такой эмпирический метод имеет существенный недостаток. Явления, наблюдаемые экспериментатором, всегда выступают как частные, единичные проявления, лишённые той степени обобщённости, которая позволила бы судить об их фундаментальных свойствах, предсказывать результаты в изменившихся условиях.

Чтобы сделать сигналы объектами теоретического изучения и расчётов, следует указать способ их математического описания или создать математическую модель исследуемого сигнала.

Математическая модель позволяет абстрагироваться от конкретной природы носителя сигнала.

Существенная сторона абстрактного метода, базирующегося на понятии математической модели, заключена в том, что мы получаем возможность описывать наиболее важные свойства сигналов. Выбор модели – в значительной степени творческий процесс. Исследователь, руководствуясь всей совокупностью доступных ему сведений, выбирает из математических моделей сигналов те, которые в конкретной ситуации наилучшим и самым простым образом описывают физический процесс.

Зная математические модели сигналов, можно сравнивать эти сигналы между собой устанавливать их тождество и различие, проводить классификацию.

Сигналы могут классифицироваться по ряду принципов:

1. Функции, описывающие сигналы, могут принимать как вещественные, так и комплексные значения. По этому принципу сигналы делятся на вещественные и комплексные.

2. Сигналы делятся на одномерные и многомерные.

Сигнал, описываемый одной функцией времени, принято называть одномерным (например, напряжение на зажимах какой-нибудь цепи, либо ток в ветви).

Многомерные, или векторные, - это сигналы вида:

образованные некоторым множеством одномерных сигналов. Целое число N называется размерностью такого сигнала.

Многомерным сигналом служит, например, система напряжений на зажимах четырёхполюсника.

3. Третий принцип классификации сигналов основан на возможности или невозможности точного предсказания их мгновенных значений в любые моменты времени. По этому принципу сигналы делятся на: детерминированные и случайные.

Если математическая модель сигнала позволяет осуществить такое предсказание, то сигнал называется детерминированным. Способы его задания могут быть разнообразными - математическая формула, вычислительный алгоритм, словесное описание. Строго говоря, детерминированных сигналов на практике не существует. Реальные сигналы являются в той или иной степени случайными функциями времени. Случайным – называется сигнал, математическим описанием которого является случайная функция времени. Физически сигнал можно считать случайным, если невозможно определённо предсказать или вычислить его мгновенные значения. Помехи являются чаще всего случайными.

Квазидетерминированные сигналы – это те, у которых какой-то один параметр случайный- например, сигнал гармонический, а фаза случайная.

4. Сигналы делятся на непрерывные и дискретные.

Сигналы, существующие непрерывно во времени и принимающие любые значения из какого-то интервала, называются непрерывными или аналоговыми. Дискретные сигналы – это сигналы, принимающие конечное число значений или состояний. Дискретные сигналы могут непосредственно создаваться на выходе преобразователя «сообщение – сигнал» или образовываться в результате дискретизации аналоговых сигналов. Следует различать дискретизацию по времени и по уровню.

Цифровые сигналы – разновидность дискретных сигналов, когда квантованные отсчётные значения представлены в виде цифр. Преимущество цифровых сигналов – более высокая помехоустойчивость и возможность их формирования и обработки микроэлектронными логическими устройствами.

5. Сигналы делятся на простые и сложные.

Простым называют сигнал, который можно отобразить простой функцией времени. К ним относятся: гармонические сигналы, конечные и бесконечные последовательности импульсов, испытательные сигналы и др.

а) Гармонический сигнал – колебания вида:

– максимальное значение (амплитуда); f – циклическая частота; – начальная фаза; (иногда используется угловая частота:

б) Импульсными сигналами являются сигналы, отличные от нуля в течение ограниченного времени. Эти сигналы существуют лишь в пределах конечного отрезка времени .

Для периодической последовательности импульсов вводится параметр –

скважность

– период повторения,

– длительность импульса.

в) Бесконечно короткий видеоимпульс бесконечной амплитуды называемый - импульсом. Он как бы сосредоточен в одной точке

– момент действия импульса.

- импульс отображается -функцией Дирака (отсюда и название). Её можно

вычислить по формуле:

Сложные сигналы отображаются такими функциями времени, которые трудно выразить в виде простой математической формулы.

Большинство реальных сигналов – это сложные сигналы

Отрезок речевого сигнала (ток через микрофон)

Для анализа таких сигналов их представляют в виде ряда некоторых элементарных (простых) функций , называемых базисными:

- коэффициенты разложения, зависящие от сигнала :

– выбраны в качестве базисных прямоугольные функции

– выбраны в качестве базисных треугольные функции

Базисные функции должны быть простыми, обеспечивать простое вычисление коэффициентов и давать хорошую сходимость ряда.

6. Сигналы делятся на видеосигналы и радиосигналы.

7. Сигналы делятся на периодические и непериодические.

Сигнал называется периодическим, если его форма циклически повторяется во времени.

- период повторения сигнала

Сигналы, которые не удовлетворяют этому уравнению, называются непериодическими.

В основе функционального анализа сигналов лежит (представление) сигнала как вектора, в специальным образом сконструированном бесконечномерном пространстве.

Пусть - множество сигналов. Причина объединения этих объектов – наличие некоторых свойств, общих для всех элементов множества .

Исследование свойств сигналов, образующих такие множества, можно осуществлять, если выражать одни элементы множества через другие элементы. При этом считается, что множество сигналов наделено определённой структурой. Электрические колебания могут складываться, а также умножаться на произвольный масштабный коэффициент. Это даёт возможность в множествах сигналов ввести структуру линейного пространства.

Множество сигналов образует вещественное линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы:

1. Любой сигнал при любых принимает лишь вещественные значения.

2. Для любых и существует их сумма , причём также содержится в . Операция суммирования коммутативна: и ассоциативна .

3. Для любого сигнала и любого вещественного числа определён сигнал .

4. Множество содержит особый нулевой элемент , такой, что для всех .

Линейное пространство, элементами которого являются функции, называется функциональным.

Если математические модели сигналов принимают комплексные значения, то, допуская в аксиоме 3 умножение на комплексное число, можем ввести понятие комплексного линейного пространства.

Как и в обычном трёхмерном пространстве в линейном пространстве сигналов можно выделить специальное подмножество, играющее роль координатных осей. В качестве таких осей используются линейно независимые векторы.

Совокупность векторов ,принадлежащих , является линейно независимой, если равенство:

(1.1)

возможно лишь в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов .

Система линейно независимых векторов образует координатный базис в линейном пространстве.

Введём новое понятие, которое по своему смыслу соответствует длине вектора. Это позволит не только определить, что один сигнал больше другого, но и указать на сколько он больше.

Длину вектора называют его нормой. Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому вектору однозначно сопоставлено число - норма этого вектора.

Аксиомы нормированного пространства

1. Норма неотрицательна, т.е. . Норма =0 тогда и только тогда, если

2. Для любого числа справедливо равенство .

3. Если и - два вектора из L, то выполняется неравенство:

Существуют разные способы определения нормы сигналов. Чаще всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму:

(1.2)

(из двух возможных значений корня выбирается положительное). Для комплексных сигналов норма:

где *-символ комплексно-сопряжённой величины.

Квадрат нормы называется энергией сигнала

(1.3)

Такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1Ом, если на его зажимах существует напряжение .

Необходимо ввести фундаментальное понятие, которое обобщало бы наше обычное представление о расстоянии между точками в пространстве.

Говорят, что линейное пространство L становится метрическим пространством, если каждой паре элементов сопоставлено неотрицательное число , называемое метрикой, или расстоянием между этими элементами. Метрика, независимо от способа её определения, должна подчиняться аксиомам метрического пространства: