2014-02-02
1733
В 1963 г. американский экономист У. Шарп (William Sharpe) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа (Sharpe single-index model).
В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две переменные величины - независимую X и зависимую Y линейным выражением типа 
модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал норму отдачи 
, вычисленную на основе индекса Standart and Poors (S&P500). В качестве зависимой переменной берется отдача 
какой-то i-ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S&Р500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model), а норму отдачи - рыночной нормой отдачи.
Пусть норма отдачи принимает случайные значения и в течение N шагов расчета наблюдались величины 
, 
,…, 
. При этом доходность какой-то i-ой ценной бумаги имела значения 
, 
,…, 
. В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами и в любой наблюдаемый момент времени в виде:
(12)
где: 
– доходность i-ой ценной бумаги в момент времени t;
– параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i-ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг ;
– параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;
– доходность рыночного портфеля в момент t;
– случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения и порою отклоняются от линейной зависимости.
Особое значение необходимо уделить параметру , поскольку он определяет чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.
В общем случае, если >1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность . Соответственно, при 
< 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности 
, от средней арифметической (ожидаемой) величины 
, чем рыночная норма отдачи. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом 
> 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с < 1 - менее рискованными.
Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной .
Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:
(13)
где 
– вес каждой ценной бумаги в портфеле. Подставим в эту формулу выражение для из формулы (12):
(14)
Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (n+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения (56) можно представить в виде:
(15)
где: 
; (16)
.
при этом считается, что дисперсия (n+1)-ой ошибки равна дисперсии рыночной доходности: 
. Выражение (15а) представляет собойсумму взвешенных величин "беты" () каждой ценной бумаги (где весом служат и называется портфельной бетой (
). С учетом выражений (56) и (57) формулу (14) можно записать так:
(17)
а поскольку 
, то окончательно имеем:
(18)
Итак, ожидаемую доходность портфеля 
можно представить состоящей из двух частей:
а) суммы взвешенных параметров каждой ценной бумаги –
…..+
, что отражает вклад в самих ценных бумаг,и
б) компоненты 
, то есть произведения портфельной беты и ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка с ценными бумагами портфеля.
Дисперсия портфеля в модели Шарпа представляется в виде:
(19)
При этом необходимо иметь в виду, что 
, то есть 
, а . Значит, дисперсию портфеля, содержащего n ценных бумаг, можно представить состоящей из двух компонент:
а) средневзвешенных дисперсий ошибок 
, где весами служат , что отражает долю риска портфеля, связанного с риском самих ценных бумаг (собственный риск);
б) 
- взвешенной величины дисперсии рыночного показателя 
, где весом служит квадрат портфельной беты, что отражает долюриска портфеля, определяемого нестабильностью самого рынка (рыночныйриск)
В модели Шарпа цель инвестора сводится к следующему:
необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля
(20)
при следующих начальных условиях:
(21)
(22)
(23)
Таким образом для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа необходимо выполнить следующие основные этапы:
1. Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить
исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности каждой ценной бумаги.
2. По рыночному индексу (например, АК&М) вычислить рыночные доходности для того же промежутка времени.
3. Определить величину дисперсии рыночного показателя , а также значения ковариаций 
доходностей каждой ценной бумаги с рыночной
нормой отдачи и найти величины :
4. Найти ожидаемые доходности каждой ценной бумаги 
и рыночной
доходности 
и вычислить параметр 
:
5. Вычислить дисперсии 
ошибок регрессионной модели
6. Подставить эти значения в соответствующие уравнения
После такой подстановки выяснится, что неизвестными величинами являются веса ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля 
, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.
