Основные подходы к построению математических моделей систем

Математические схемы моделирования систем.

Разработка математической модели

Концептуальная модель и количественные исходные данные служат основой для разработки математической модели. Создание математической модели преследует две основные цели: 1) дать формализованное описание структуры и процесса функционирования системы для однозначности их понимания; 2) попытаться представить процесс функционирования в виде, допускающем аналитическое исследование системы.

Единая методика создания математических моделей отсутствует. Это обусловлено большим разнообразием классов систем. Системы могут быть статические и динамические, со структурным или программным управлением, с постоянной или переменной структурой, с постоянным (жестким) или сменным (гибким) программным управлением. По характеру входных воздействий и внутренних состояний системы подразделяются на непрерывные и дискретные, линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные, детерминированные и стохастические. При исследовании приборных систем может быть получено такое же разнообразие моделей в зависимости от ориентации, степени стратификации и детализации.

Для определенных классов систем разработаны формализованные схемы и математические методы, которые позволяют описать функционирование системы, а в некоторых случаях – выполнять аналитические исследования.

Средствами формализованного описания процессов функционирования систем с программным принципом управления служат определенные языки и системы имитационного моделирования.

Математическая схема – это звено при переходе от содержательного к формализованному описанию процесса функционирования системы с учётом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка: описательная модель – математическая схема – имитационная модель.

Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отображающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитываются условия её функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е.

Полнота моделирования регулируется, в основном, выбором границ «Система S – среда E».

Математическую модель (ММ) объекта моделирования, т.е. системы S можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества:

- совокупность входных воздействий на S ;

- совокупность воздействий внешней среды ;

- совокупность внутренних (собственных) параметров системы ;

- совокупность выходных характеристик системы .

В перечисленных множествах можно выделить управляемые и неуправляемые величины. В общем случае непересекающиеся множества X, V, H, Y содержат как детерминированные так и стохастические составляющие. Входные воздействия E и внутренние параметры S являются независимыми (экзогенными) переменными, . Выходные характеристики – зависимые (эндогенные) переменные . Процесс функционирования S описывается оператором F_S:

, (3.1)

где – выходная траектория, F_S – закон функционирования S. F_S может быть функция, функционал, логические условия, алгоритм, таблица или словесное описание правил.

Алгоритм функционирования A_S – метод получения выходных характеристик с учётом входных воздействий . Очевидно один и тот же F_S может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных A_S.

Соотношение (3.1) является математическим описанием поведения объекта S моделирования во времени t, т.е. отражает его динамические свойства. (3.1) – это динамическая модель системы S. Для статических условий ММ есть отображения X, V, H в Y:

. (3.2)

Соотношения (3.1), (3.2) могут быть заданы формулами, таблицами и т.д. Также соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы в конкретные моменты времени, называемые состояниями.

Состояния системы S характеризуются векторами:

и , где в момент ; в момент и т.д., k = 1, …, n_Z.

Z ₁(t), Z ₂(t), …, Z_k (t) – это координаты точки в k -мерном фазовом пространстве. Каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория.

Совокупность всех возможных значений состояний называется пространством состояний объекта моделирования Z, причём z_k Î Z.

Состояние системы S в интервале времени t ₀ < t £ T полностью определяется начальными условиями , где , …; входными воздействиями , внутренними параметрами и воздействиями внешней среды , которые имели место за промежуток времени t ^* – t ₀ c помощью 2-х векторных уравнений:

(3.3)

(3.4)

иначе: (3.5)

Время в модели S может рассматриваться на интервале моделирования (t ₀, T) как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезке длиной D t.

Таким образом, под ММ объекта понимаем конечное множество переменных вместе с математическими связями между ними и характеристиками .

Моделирование называется детерминированным, если операторы F, Ф – детерминированные. Детерминированное моделирование – частный случай стохастического моделирования. В практике моделирования объектов в области системного анализа на первичных этапах исследования рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, СМО и т.д. Не обладая такой степенью общности, как модели (3.3), (3.4), типовые математические схемы имеют преимущество простоты и наглядности, но при существенном сужении возможности применения.

В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайный факт не учитывается, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени – конечные автоматы и конечно-разностные схемы.

В стохастических моделях (при учёте случайного фактора) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем – системы массового обслуживания (СМО). Большое практическое значение при исследовании сложных индивидуальных управленческих систем, к которым относятся АСУ, имеют так называемые агрегативные модели.

Aгрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивая взаимодействие частей.