Многогранники

Многогранником называется совокупность таких плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного).

Виды многогранников

Кратко охарактеризуем геометрические свойства некоторых многогранников:

1. Пирамида - это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина её отсекается плоскостью (рис.6.1.).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 6.1. Пирамида

2. Призма - многоугольник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом (рис 6.2.).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 6.2. Призма

3. Призматоид - многогранник, ограниченный двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (они являются его основаниями); его боковые грани представляют собой треугольники и трапеции, вершины которых являются и вершинами многоугольников оснований (рис.6.3.).

а) модель			б) эпюр
Рисунок 6.3. Призматоид

4. Тела Платона. Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными Углы при вершинах такого многогранника равны между собой.

Существует пять типов правильных многогранников. Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном, чем и объясняется их общее название.

Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково.

Тетраэдр - правильный четырехгранник (рис 6.4.). Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это правильная треугольная пирамида).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 6.4. Тетраэдр

Гексаэдр - правильный шестигранник (рис. 6.5.). Это куб состоящий из шести равных квадратов.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 6.5. Гексаэдр

Октаэдр - правильный восьмигранник (рис.6.6.). Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 6.6. Октаэдр

Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины (рис. 6.7.).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 6.7. Додекаэдр

Икосаэдр - состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины (рис.6.8.).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 6.8. Икосаэдр

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О РАЗВЕРТЫВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Разверткой называется фигура, полученная от совмещения всех точек поверхности с плоскостью. Развертки нужны для изготовления изделий из листового материала.

Развертку поверхностей любого многогранника можно построить, совмещая в одну плоскость все его грани. Все грани и ребра на развертке изображаются в натуральную величину (рис.1,б,в), поэтому при построении развертки необходимо определить натуральную величину его граней и ребер. По комплексному чертежу всегда можно найти натуральную величину граней и ребер, следовательно, всегда можно построить развертку поверхностей многогранника.

Рис. 1

Для развертывания боковой поверхности призмы необходимо:

а) пересечь призму вспомогательной плоскостью ∑, перпендикулярной к ребрам (рис, 1,а);

б) определить длины отрезков А₀В₀, В₀С₀ … Е₀А₀ ломаной линии, полученной от сечения граней плоскостью ∑;

в) развернуть ломаную линию в прямую линию Е₀…С₀…Е₀ (рис.1,б) и на перпендикулярах, проведенных в точках Е₀, А₀, В₀, С₀, D₀, отложить отрез­ки Е₀Е вверх и Е₀Е’ - вниз, А₀А и А₀А ’ составляющие длины ребер призмы;

г) последовательно соединить точки Е, А, В, С, D и Е’, А’, В’, С’, D’ прямыми линиями.

Развертку боковой поверхности (граней) призмы можно выполнить другим графическим методом, а именно, грани призмы поделить диагоналями АВ’, В’С и т.д. (рис. 1,а) на треугольники 1, 2,3,4, 5, 6 и т.д. Определить длины сторон этих треугольников и построить их в одной плоскости (рис.1,в).

Для развертывания поверхности, пирамиды надо:

а) определить длины ребер (сторон) основания;

б) построить из вершины пирамиды в плоскости чертежа последовательно грани пирамиды ввиде треугольников.

Следовательно, все многогранники развертываются. Кривые поверхности бывают:

а) развертывающиеся;

б) неразвертывающиеся.

Развертывающиеся поверхности совмещаются с плоскостью без разрывов и складок, например, цилиндрическая, коническая, торсы (см. рис. 2 ).

Развертку можно определить как геометрическое преобразование поверхностей Ω (рис. 2) в плоские фигуры Ω^*, которое является взаимно однозначным; каждой точке А на поверхности соответствует единственная точка А на развертке и наоборот. Развертки имеют следующие свойства:

1) длины линий, лежащих на поверхности, на развертке сохраняются;

2) углы между соответствующими линиями на поверхности и на развертке равны. Геометрические преобразования, при которых сохраняются углы, называ­ются конформными;

3) площади фигур также равны на поверхности и на развертке.

Прямая линия на поверхности остается прямой на развертке, но прямая на развертке не всегда является прямой на поверхности.

Геодезическая линия (кратчайшее расстояние между двумя точками) на по­верхности переходит в прямую на развертке.

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ЦИЛИНДРОВ И КОНУСОВ

Для построения развертки боковая поверхность цилиндра заменяется вписан­ной в нее поверхностью призмы, которая развертывается указанным в § 40 спо­собом. Вместо ломаных линий ЕАВСDЕ и Е’А’В’С’D’E’ (см. рис.1,б,в) проводится плавная кривая линия. Построение развертки будет точнее при большем числе граней призмы, заменяющей поверхность цилиндра. Для постро­ения развертки прямого кругового цилиндра (рис.3,а), усеченного фронталь­но-проецирующей плоскостью ∑(∑₂) делим окружность основания на части, на­пример двенадцать.

Рис. 3

Длину окружности основания, равную ПD, откладываем по горизонтальной линии (рис.3,б) и делим прямую также на двенадцать равных частей 1, 2, 3,…10, 11, 12 и из каждой точки 1, 2, 3,…10, 11, 12 восстанавливаем перпендикуляры. Поверхность цилиндра является горизонтально-проецирующей, поэтому все образующие на фронтальной проекции А₂1₂ … В₂7₂ проецируются в натуральную величину. Откладывая длины на соответ­ствующих образующих развертки и соединяя полученные точки плавной кривой В А В, получим развёртку усеченного цилиндра.

Натуральную величину эллипса сечения можно подучить вращением сечения вокруг оси i, принадлежащей плоскости П ₁ перпендикулярной к П ₂ (рис.3,а) до совмещения с горизонтальной плоскостью основания цилиндра. Эллипс можно также построить, зная, что его большая ось А₂В₂, а малая – диаметр D цилиндра. Для построения развертки боковую поверхность цилинд­ра можно разрезать по любой образующей. В нашем примере разрез произведен по наибольшей образующей В7. Поэтому развертка является симметричной (рис.3,б). Эллипс сечения и окружность нижнего основания можно помещать касательными к любой образующей цилиндра.

Прямой круговой конус на развертке изображается круговым сектором. Ра­диус сектора равен длине l (рис.4) образующей. Угол α при вершине вычисляется по формуле α= 180˚ D/l, где D - диаметр основания конуса.

Для построения развертки усеченного конуса проведем образующие S-1, S-2, S-3…S-11, S-12 и перенесем их на развертку. Начинать развертку можно с любой образующей. На развертке точки обозначаются большими цифрами или буквами без индексов. На соответствующих образующих откладываются расстояния от вершины конуса S до основания, а для усеченного конуса до линии пересечения. Действительная величина расстояний определяется вращением образующих вокруг оси перпендикулярной к П ₁ до положения параллельного фронтальной плоскости проекций П₂.

При графическом построении достаточно спроецировать все точки на одну из очерковых образующих, как это показано для трех образующих S3, S4, S5. Длины S₂A’₂, S₂B’₂, S₂C’₂ (рис.4,а) будут действительными расстоя­ниями от вершины конуса до сечения. Откладываяих на развертке от вершины S (рис.4,б) на соответствующих образующих, отметим точки А, B, C, D... Е. Соединив их плавной кривой получим на развертке контур сечения конуса пло­скостью. Очерковые образующие S-1 и S-7 проецируются на фронтальной про­екции в натуральную длину, поэтому расстояния S₂Е₂ и S₂D₂ сразу от­кладываем на развертке (SЕ = S₂Е₂ и SD = S₂D₂).

Для построения развертки коническую поверхность разрезали по случайной образующей (не наименьшей и не наибольшей), поэтому развертка в данном слу­чае не является симметричной (рис. 4,б).

Для построения на конической поверхности геодезической линии (кратчайшего расстояния) между точками А и В (рис. 5) надо построить эти точки на развертке (рис. 5,б) и соединить прямой линией.

Точки А и В (рис. 5,б) расположены на передней половине конуса, поэтому достаточно построить развертку только этой половины конуса. Точка А расположена на очерковой образующей SO, поэтому расстояние S ₂ A ₂ равно натуральному и его можно отложить непосредственно на развертке (SA = S₂A₂). Проведя через точку B(B₂) образующую S7 (S₂7₂), построим ее на раз­вертке (рис.5,б). Соединяя точки А и В прямой линией получим на раз­вертке кратчайшее расстояние между точками. Проводя образующие S1, S2, S3, S4 пересекающие прямую АВ, получим точки M, C, D, E. Для изображения проекций линии А В на проекциях конуса (рис.5,a) натуральные величины отрезков образующих SM, SC, SD, SE, SB откладываем на фронтальной про­екции S ₂ O ₂ очерковой образующей, получаем точки M’, C’, D’, E’, B’. Про­ведя из этих точек горизонтальные прямые соответственно до пересечения с фронтальными проекциями S ₂ 1 ₂, S ₂ 2 ₂, S ₂ 3 ₂, S ₂ 4 ₂, S ₂ 7 ₂ образующих получим фронтальные проекции M₂, C₂, D₂, E₂, B₂ точек, определяющих фронтальную про­екцию А₂В₂ геодезической линии. Горизонтальные проекции M₁, C₁, D₁, E₁, B₁ определяются проецированием на горизонтальные проекции соответствующих обра­зующих.

Рис. 5

ПРИБЛИЖЕННОЕ РАЗВЕРТЫВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Развертки неразвертываемых поверхностей строятся приближенными. Напри­мер, развертку поверхности сферы можно построить, разрезая сферу по меридианам (рис. 6,а) или по широтам (рис. 6,б). Плоскостями, проходящими через вертикальный диаметр сферы, ее поверхность разрезается на несколько, например, на двенадцать равных частей по меридианам (рис 6,а). Рассмотрим построение развертки одной части (доли) I сферы, вырезанной меридиальными плоскостями, проходящими через точки С и D (рис. 7). Заменим эту часть сферы цилиндрической поверхностью, описанной вокруг нее с образующей ЕF (рис.7,а)

Образующая цилиндрической поверхности параллельна П ₁, поэтому ее гори­зонтальная проекция Е₁F₁ равна ее натуральной величине, которую можно отло­жить на развертке в точках ЕF (рис.7,б). Наружным очерком поверхности будет половина главного меридиана S ₂ P ₂ (рис. 7,а). Для построения развертки этой цилиндрической поверхности заменяем ее вписанной призмой. Для этого делим половину главного меридиана на равное количество частей (в нашем примере шесть). Через точки деления 3,2, 4,1,5 проводим образующие цилиндрической поверхности E₁F₁, C₁D₁, A₁B₁. Спрямляя полумеридиан S ₂ P ₂ проводим прямую SP (рис. 7,б) перпендикулярно оси развертки в точке 3 и отмечаем точки 2,4,1,5 на этой прямой. Через эти точки перпен­дикулярно прямой SP проводим образующие ЕF= E₁F₁, CD= C₁D₁, AB= A₁B₁.

Соединив точки S, A C E, …,P и P, B, D, F,…S плавными кривыми получим приближенную развертку одной части (доли) сферы. Другие части (доли) сферы строятся аналогично.

При развертывании сферы по широтам разрезают ее по параллелям на несколько поясов (см. рис. 6,б). Средний экваториальный пояс 1 (рис.8) развертывается как прямой круговой цилиндр. Промежуточные пояса 2, 3 развертываются как усеченные прямые круговые конусы. Сегменты 5 развертываются, как прямой круговой конус с диаметром основания D₂D’₂ и образующей D₂S₂

Для приближенной развертки указанным методом замены поверхности вращения усеченными конусами, вписанными в поверхность, можно развернуть торовую или другую поверхность вращения. На рис. 9 показана поверхность, разделенная на три пояса.

Для развертки поверхности кольца (рис.10) разрежем его поверхность при помощи меридианов на равные части (двенадцать) и построим приближенную развертку одной части.

Заменяем поверхность описанной цилиндрической поверхностью. Если спрямить меридиан в отрезок прямой и через точки 0, 1, 2, … 6 провести перпендикулярно отрезку образующие цилиндрической поверхности AB, CD, EF, … PT, то получим точки А, С, Е, G, К, M, Р и Т, N, L, Н, F, D, В, соединяя их плавной кривой, получим приближенную развертку вырезанной части поверхно­сти кольца. Часто приходится изображать на развертке линии (отверстия, линии пересечения с другими поверхностями и т.д.), лежащие на поверхностии, на­оборот, изображать на комплексном чертеже линии, находящиеся на развертке. Для изображения линий, которые являются совокупностью точек достаточно изобразить опорные (характерные) точки и необходимое количество промежуточных (произвольных, случайных) точек. Для линейчатых поверхностей эта задача ре­шается проведением через заданную точку прямолинейных образующих (см. § 41 рис.5) и изображения ее на развертке.

Рис. 10

Если эти задачи приходится решать для неразвертываемых поверхностей, то приходится пользоваться геометрическими построениями, в частности можно через заданные точки проводить параллели или меридианы и находить на развертке ли­нииим соответствующие.

АКСОНОМЕТРИЯ.

МЕТОД АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ.

ТЕОРЕМА ПОЛЬКЕ

Ортогональные чертежи передают точно и полно форму изображаемого предмета. Аксонометрические проекции применяются для построения наглядных изображений.

При аксонометрическом проецировании предмет (точка А рис.1) связывают с осями координат x, y, z и вместе сними проецируют на одну плоскость П’ (а не на две или три плоскости проекций, как это делают при ор­тогональном проецировании). Плоскость П’ называют плоскостью картины иди плоскостью аксонометрического изображения. На плоскости аксонометрического изображения, получается наглядное изображение координатной системы x’, y’, z’ и координат точки А’. Метод аксонометрического проецирования основан на соотношениях между отрезками осей координат OAx, OAy, OAz и проекция­ми O’A’x, O’A’y, O’A’z, расположенными на аксонометрических осях x’, y’, z’. Каждый натуральный отрезок OAx, OAy, OAz при проецировании на плоскость П’ искажается. Это искажение определяется отношением длины проекции отрезка оси на аксонометрическую плоскость П’ к длине отрезка, взятого на оси натуральных координат, и называется показателем или коэффициентом искажения этой оси. Показатель искажения по оси x: и=O’A’x /OAx; показатель по оси y: v= O’A’ y /OA y; показатель по оси z: w= O’A’ z /OA z;

Метод аксонометрических проекций состоит в построении однокартинного обратимого чертежа.

Проекция A’ называется основной или первичной проекцией точки A. Проекция A₁’ называется вторичной горизонтальной проекций; A₂’ - вторичной фронтальной; A₃’ - вторичной профильной проекцией точки А. Аксонометрические координаты, измеренные аксонометрическими масштабами, численно равны натуральным.

Аксонометрические проекции подразделяются в зависимости от направления проецирования на аксонометрическую плоскость П’ (на рис.1 указано стрелкой S) на:

а) ортогональные (прямоугольные), когда направление проецирования OO’ перпендикулярно плоскости П’,

б) косоугольные, когда на­правление проецирования составляет острый угол с плоскостью П’.

Указанные аксонометрические проекции, в зависимости от соотношения показателей искажения по аксонометрическимосям, подразделяются на три следующих вида:

1) изометрия - все три показатели искажения одинаковы (и=v=w)

2) диметрия - два показателя искажения одинаковы (и=v≠w; и =w≠v)

5) триметрия - все три показателе искажения различны ( и≠v; и≠w; v≠w).

Теорема ПОЛЬКЕ является основной теоремой аксонометрии. Она дает возможность выбирать аксонометрические оси и масштабы. Доказывается, что аксоно­метрические оси на плоскости чертежа П’ и масштабы на них могут быть выбраны произвольно. Теорема ПОЛЬКЕ также доказывает, что если задаться любыми тремя аксонометрическими осями и показателями искажения, то для любой комбина­ции осей и показателей искажения может быть подобрано такое положение предмета в пространстве и направление проецирования, при которых изображение построенное на осях представит косоугольную проекцию этого предмета.

Выводится математически, что для прямоугольной аксонометрической проекции сумма квадратов показателей искажения равна двум:

и²+v²+w²=2 (1)

Рассмотрим наиболее часто применяемые, указанные в ГОСТ аксонометрические проекции: прямоугольную изометрию, прямоугольную диметрию, косоугольную диметрию.

ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ

Изсоотношения (1) следует, что дляизометрии и=v=w =√⅔ =0,82

Изометрические оси располагаются под углом 120˚ (рис. 2.) и имеют одинаковые показатели искажения 0,82; при этом предмет изображается в масштабе 1:1. Для упрощения построений можно откладывать по осям натуральные размеры пред­мета; в этом случае изображение будет в увеличенном масштабе 1,22:1.

Куб с окружностями диаметром D, вписанными в его грани (параллельными горизонтальной и профильной плоскостям проекций), изображен на рис. 3

В прямоугольных аксонометрических проекциях большие оси эллипсов распо­лагаются перпендикулярно свободным (пронизывающим) осям.

Для эллипса 1, расположенного в горизонтальной плоскости, большая ось располагается перпендикулярно оси z’, т.е. горизонтально.

Для эллипса 2, - перпендикулярно оси y’, т.е. под углом 60° к горизонтальной линии.

Для эллипса 3, - перпендикулярно оси x’, т.е. под углом 60° к горизон­тальной линии.

Размеры эллипсов, расположенных в этих плоскостях, одинаковые. Если стороны куба сокращать умножением на коэффициент 0,82, то большая ось эллипсов будет равна диаметру D окружности, а малая 0,58 D.

Если стороны куба откладывать длиной равной натуральной величине, то большая ось эллипса будет равна 1,22 D, а малая ось -0,7 D.

При построении аксонометрических изображений необходимо переносить координаты точек с, ортогонального комплексного чертежа на аксонометрический.

Рис. 4

Рассмотрим пример построения изометрической проекции шестиугольника 123456 (1₁2₁3₁4₁5₁6₁, 1₂2₂3₂4₂5₂6₂) (рис.4).

Чтобы построить его аксонометрическое изображение свяжем его с прямоугольной системой координат oxyz (o₁x₁y₁z₁, o₂x₂y₂z₂). Строим изображение x’, y’, z’ осей x, y, z в изометрии согласно рис. 143. Для изображения изометрической проекции шестиугольника 123456 (рис. 4), расположенного в горизонтальной плоскости проекций строим точки 1’, 4’, расположенные на оси x’, и точки A’, B’ (середины сторон 2’3’ и 5’6’), расположенные на оси y’, снимая соответственно их координаты x и у с комплексного чертежа. Про­ведем параллельно друг другу стороны ^ 2’3’ и 5’6’ и соединяем с точка­ми 1’ и 4’ расположенными на оси x’ построим изометрию шестиугольника.

На рис.5 изображена сфера диаметром D в увеличенном масштабе1,22:1. Наружный очерк ее остается окружностью, а сечения изображаются в виде эллипсов. На рис. 5 показан вырез части сферы горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостями. При вырезе из сферы одной восьмой части (разрез сферы горизонтальной плоскостью) контур сечения будет ограничен частью эллипса A’B’ расположенной между осями x’ и y’. Штриховка плоскости А’0’B’ будет направлена горизонтально т.к. по осям x’ и y’ откладываются одинаковые расстояния (рис.6).

Рис. 6

Рис. 5

Рис. 7

Разрезы в аксонометрии производятся, в большинстве случаев, двумя плоскостями (рис. 7, 8). Удаляется часть детали, расположенная ближе к наблюдателю, т.е. угол, образованный секущими плоскостями (заштрихованный), должен быть раскрытым. В аксонометрии все части предметов, включая ребра, (рис.9), при продольных и поперечных разрезах штрихуются.