Геометрический смысл уравнения Бернулли

Условие применения уравнения Бернулли.

Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости.

При движении вязкой жидкости внутри самой жидкости, а так же между жидкостью и стенкой возникают силы трения. На преодоление, которой жидкость затрачивает часть своей энергии преобразующейся в тепло и рассеивающейся в пространстве. Этот процесс называется диссипация.

Процесс диссипации энергии необратим. Поэтому при движении вязкой жидкости от сечения I-I к сечению II-II часть механической энергии теряется. Для соблюдения равновесия левой и правой частей уравнения Бернулли в правую/левую часть добавляют величину, соответствующую потере энергии между двумя этими сечениями.

z₁ + p₁ /gρ₁ + U₁²/2g = z₂ + p₂ /gρ₂ + U₂²/2g + h_1-2.

Поток вязкой жикости состоит из бесконечного множества элементарных струек в каждой из которых жидкость движется со своей местной скоростью U. Поэтому в уравнение Бернулли для потока жидкости вместо местной скорости U подставляем среднюю скорость V. Замена местных скоростей средней по сечению скоростью V вносит погрешность в уравнение Бернулли, которая устраняется введением поправочного коэффициента α, который называется коэффициентом Кориолиса.

Коэффициент Кориолиса представляет собой отношение действительной кинетической энергии к кинетической энергии потока, вычисленной по средней скорости. Таким образом, поправочный коэффициент учитывает неравномерность скорости по живому сечению потока. Коэффициент Кориолиса зависит от режима течения жидкости.

Для ламинарного режима α = 2.

Для турбулентного режима α = 1,13…1,15

При решении задач α = 1.

z₁ + p₁ /gρ₁ + V₁²/2g = z₂ + p₂ /gρ₂ + V₂²/2g + h_1-2.

Уравнение Бернулли справедливо, если:

1. скорость во времени не изменяется,

2. расход постоянный,

3. движение изменяется плавно,

4. между сечениями нет притока или стока энергии.

z₁ – представляет собой нивелирную высоту, то есть расстояние от плоскости сравнения до центра тяжести сечения.

p/ρg – пьезометрическая высота, то есть высота на которую поднимается жидкость под действием силы давления.

U²/2g - высота скоростного напора, высота на которую поднималась бы жидкость если бы она двигалась вертикально вверх со скоростью U.

невязкая

U²/2g вязкая

пьезометрическая линия

II

p/ρg U₂ P₂ z+p/ρg+U²/2g

I

U₁

P₁ I II z₂

z+p/ρg z_{1 L}

0 0

z+p/ρg – пьезометрический напор

z+p/ρg+U²/2g - гидродинамический напор или линия полной энергии

Если жидкость невязкая, то гидродинамический напор – горизонтальная линия;

Если жидкость вязкая, то между сечениями будут потери энергии и гидродинамическая линия – наклонная.

Гидравлический уклон (изменение гидравлического напора по длине) – тангенс угла наклона касательной с отрицательным направлением движения жидкости. Всегда положительная величина.

i = -d(z+p/ρg+U²/2g)/dL

Если соединить в любой точке все пьезометрические напоры, то получим пьезометрическую линию. Она может иметь положительные и отрицательные значения.

J = - - d(z+p/ρg)/dL U²/2g

Переменное сечение

p/ρg

Лекция 6