Лекция №8. Математические зависимости для

Математические зависимости для

турбулентного режима. Истечение жидкости

через малые отверстия и насадки.

Законы распределения скоростей при турбулентном режиме.

Опытами установлено следующее:

1. Скорости у стенок трубы равны нулю (т.к. образуется неподвижный ламинарный слой).

2. На небольшом расстоянии от стенки скорости достигаю т значения мало отличающихся во всех точках живого сечения.

3. Средняя скорость в сечении равна:

U = (0,7 / 0,9) U_max

Принимая во внимание линейную зависимость пути перемешивания ℓ и расстояние от стенки y, т.е. ℓ = χy, воспользуемся уравнением касательных напряжений

τ = ρℓ² (du/dy)²

du = (√τ/ρ) dy/ℓ = (√τ/ρ) dy/χy; √τ/ρ = u_*, где u_* - динамическая скорость в м/c.

du = u_* dy/χy, интерпретируя это уравнение, получим:

u = (u_*/χ) ℓu y + C

Скорости у стенок трубы изменяются по логарифмическому закону.

Определим постоянную интегрирования С, полагая y = z, u = u_max

C = u_max - (u_*/χ) ℓu r

u = (u_*/χ) ℓu y + u_max - (u_*/χ) ℓu r

u = u_max + u_*/χ (ℓu y - ℓu r)

Мы получили закон распределение скоростей по живому сечению потока при турбулентном режиме.

Чем больше число Рейнольдса, тем больше выравнивание скоростей:

R_e = 2700 U = 0,75 U_max

R_e = 10⁸ U = 0,9 U_max

R_e → ∞ U → U_max

Потери напора при турбулентном движении

Воспользуемся уравнением установившегося равномерного движения:

τ = ρgRY

и решим его относительно Y:

Y = τ / ρg 1/R

Исходя из опытов Шези: τ / ρg = KU², где К – коэффициент пропорциональности равный: К = 1/С², где С – коэффициент Шези.

τ / ρg = U²/C², тогда уклон Y будет равен:

Y = 1/C² U²/R, где R = d/4 из этой зависимости получим U = C√RY

Y = 4/C² U²/d, c = √8g/λ - формула Шези, здесь λ – коэффициент сопротивления трению.

Поставим в зависимость, полученную для уклона Y, C и домножим левую и правую часть на ℓ:

Yℓ = 4λ/8g ℓU²/d; h_e = λ (ℓ/d) U²/2g

При турбулентном режиме потери напора по длине пропорциональны длине участка и квадрату скорости.

Истечение жидкости из малого отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре.

Н – геометрический напор

Если диаметр отверстия d составляет 0,1Н, такое отверстия называю малым.

U_a ≈ U_в

Под термином тонкая стенка понимают такую стенку:

1. Края стенки заострены и поток касается только кромки.

2. Толщина стенки ∂ < 0,2 d

При истечении жидкости через отверстие в тонкой стенке линии тока в плоскости самого отверстия непараллельны друг другу, поэтому движение резкоизменяющееся. На некотором расстоянии от отверстия кривизна линии тока уменьшается, его называют сжатым W_c. Это происходит на расстоянии ℓ ≈ 0,5 d. Сжатие сечения характеризуется коэффициентом сжатия E = W_c/W₀, a W_c = EW₀.

Цели задачи:

1. Определить скорость в сжатом сечении;

2. Найти расход через малое отверстие Q

Выберем два сечения 1-1 и С-С и запишем для них уравнение Д.Бернулли:

Z₁ + P₁/ρg + dU₁²/2g = Z₂ + P₂/ρg + dU₂²/2g + h_1-2

Z₁ = Н; P₁/ρg = P₂/ρg; dU₁²/2g ≈ 0, т.к. площадь живого сечения 1-1 больше площади сечения отверстия (Ω >>W).

Z₂ = 0, P₂/ρg = P_a/ρg; dU₂²/2g = dU₂²/2g; h_1-2 = ζ U_c²/2g,

где коэффициент сопротивления, учитывающий потери в местном сопротивлении; d = 1,0.

Н + P₀/ρg = P_a/ρg + U_c²/2g + ζ U_c²/2g;

Н + (P₀/ρg - P_a/ρg) = Н_пр приведенный напор; в случае открытого сосуда Н_пр = Н.

Н_пр = (1+ ζ) U_c²/2g → U_c = 1/√(1+ ζ) √2g Н_пр

Обозначим 1/√(1+ ζ) = ς – коэффициент скорости отверстия, учитывающий потерю напора

U_c = ς √2gH_кр или U_c = ς √2gH ς = U_g/U_теор

Определим расход в сечении:

Q = W_c ^. U_c = EW₀ ς √2gH_пр.

Q = EςW₀ √2gH_пр.

Обозначим E ς = μ – коэффициент расхода

Q = μW₀ √2gH_пр

Q = μW₀ √2gH

μ = Q_д / Q_теор

Различают два вида сжатия потока:

1. Полное, когда струя сжимается воздухом по всему периметру

2. Неполное – часть периметра отверстия примыкает ко дну, которое является направляющей плоскостью для потока.

Полное сжатие струи делится на совершенное и несовершенное:

1. Совершенное - ℓ₁ > 3в; ℓ₁ > 3а

2. Несовершенное сжатие наблюдается при более близком расположении отверстия к направляющим стенкам: ℓ₁ < 3в; ℓ₁ < 3а

Коэффициент расхода для несовершенного сжатия выше. сем для совершенного.

В случае совершенного сжатия для круглого и прямоугольного отверстий:

Е = 0,62 / 0,64

ς = 0,97

ζ = 0,06

μ = 0,060 / 0,62

Истечение жидкости через насадки

Насадком (насадкой) называется короткая труба, присоединенная к малому отверстию в тонкой стенке.

ℓ = (3/4) d

Насадки бывают:

1. Цилиндрические: внутренние и внешние

2. Конические: сходящиеся и расходящиеся

3. Коноидальные

Рассмотрим внешний цилиндрический насадок. При входе в него струя претерпевает сжатие на расстояние ℓ, а далее расширяется и выходит из насадки полным сечением.

В сжатом сечении давление меньше атмосферного.

Запишем уравнение неразрывности для сечений С-С и 2-2:

W_c V_c = W₂ V₂ → U_c = W₂U₂/W_c → U_c = (1/E) U₂ , т.е. U_c > U₂,

а в сечении 2-2 давление равно атмосферному, из закона сохранения энергии, следует, что в сечении 2-2 давление меньше атмосферного. Т.о. можно делать вывод, что в сечении С-С выкуум. Вакуум зависит от напора Н.

За счет вакуума внешний цилиндрический насадок обладает большей пропускной способностью по сравнению с отверстием (на 32%).

Запишем уравнение Д.Бернулли для сечений 1-1 и на выходе из насадка 2-2:

Z₁ + P₁/ρg + dU₁²/2g = Z₂ + P₂/ρg + dU₂²/2g + ∑h_1-2

Z₁ = Н; dU₁²/2g ≈ 0; Z₂ = 0; ∑h_1-2 = ζ U_c²/2g + λ ℓ/d (U_c²/2g)

Н = dU₁²/2g + ζ U_c²/2g + λ ℓ/d (U_c²/2g) = dU₁²/2g (d + ζ + λ ℓ/d)

U₂ = 1 /(√ d + ζ + λ ℓ/d) √2gH

Потери в насадке: на стадии струи, на расстоянии, по длине и относятся к скоростному напору на выходе.

U₂ = ς_H √2gH

Т.к. на выходе струя претерпевает сжатия и E = 1,0, μ_H = ς_H; ς цилиндрического насадка 0,82

Q = ς_HW₂√2gH = μ_H W₂√2gH

Величина вакуума в насадке зависит от действующего напора, который складывается из Н и h_вак. Допустимая величина вакуума, т.е. будет засасывается воздух из выходного отверстия. h_вак ≈ 0,75 Н.

Конически сходящийся насадок

Коэффициент расхода такого насадка зависит от угла схождения θ Е=0,946 при θ = 13⁰ ς = 0,97

Вакуум отсутствует, это объясняется уменьшением потерь напора за счет плавного входа струи в насадок. Обладает большой скоростью на выходе, с увеличением θ до 50⁰ коэффициент расхода уменьшается.

Конически расходящийся насадок

В этом насадке скорость в сжатом сечении значительно больше, чем в цилиндрическом насадке и возрастает с увеличением угла расхождения (конусности).

Потери в этом насадке значительно больше, что обусловлено значительным расширением струи и неблагоприятными условиями входа в насадок.

Е = 1,0, μ_Н = ς_Н = 0,50

Расход в конически расходящимся насадке увеличивается по сравнению с другими насадками за счет большой величины вакуума.

Принимаем для увеличения пропускной способности при малых скоростях на выходе (при пожаротушении).