Ядерный реактор в форме бесконечной пластины с отражателем

x

H

T

Рассмотрим бесконечно плоский ЯР, состоящий из АЗ толщиной Н и боковых отражателей толщиной Т каждый. Начало координат поместим в плоскость симметрии. Т.к. пластина тонкая, то по физическому смыслу задача является одномерной, т.е. имеет место зависимость потоков только от х. В этом случае уравнения (1) и (2) принимают вид:

для АЗ (3)

для отражателя (4)

Граничные условия имеют вид

(5)

(6)

(7)

При этом потоки нейтронов должны быть конечны и неотрицательны.

Уравнения (3) и (4) представляют собой линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. При этом корни характеристического уравнения для (3) являются мнимыми, а корни характеристического уравнения для (4) – действительными и не равными друг другу. Тогда можно записать общие решения:

Ф ₁(x) = A ₁cos (χ ₁ x) + C₁ sin (χ ₁ x) (8)

Ф ₂(x) = A ₂exp (χ ₂ x) + C ₂exp (– χ ₂ x) (9)

Так как потоки в АЗ симметричны относительно оси реактора, то решение (8) будет соответствовать условию симметрии, если константа С ₁ = 0, тогда окончательно для АЗ распределение потока нейтронов имеет вид:

Ф ₁(x) = A ₁cos (χ ₁ x) (10)

Рассмотрим решение (9). В нем выразим экспоненты через гиперболические функции e ^x = ch (x) + sh (x), e^{– x} = ch (x) – sh (x):

Ф ₂(x) = A ₂ [ch (χ ₂ x) + sh (χ ₂ x)] + C ₂[ch (χ ₂ x) – sh (χ ₂ x)] = M ch (χ ₂ x) + N sh (χ ₂ x), (11)

где M = A ₂+ C ₂, N = A ₂ – C ₂.

Воспользуемся граничным условием (7). Тогда получаем:

Подставим полученное соотношение в (11):

(12)

Известно, что sh(a – b)=sh(a)ch(b)–ch(a)sh(b). Тогда в (12) числителе выражение в фигурных скобках можно привести к более компактному виду:

, (13)

где.

Таким образом, для ЯР в форме бесконечной пластины распределение потоков нейтронов будут описываться соотношениями (10) и (13):

Ф ₁(x) = A ₁cos (χ ₁ x) (10)

, (13)

Для указанных выражений воспользуется граничными условиями (5) и (6) в точке с координатой H /2 (граница раздела АЗ/отражатель). В этом случае условие (5) (равенство потоков) примет вид:

(14)

Реализуем условие (6) (равенство плотностей диффузионных токов):

(15)

Разделим почленно (15) на (14) и получим

(16)

Выражение (16) является условием критичности бесконечно плоского ЯР с отражателем, которое, как и в случае ЯР без отражателя, устанавливает имеет тот же физический смысл: устанавливает в критическом ЯР связь между геометрическими параметрами (Н и Т) и параметрами среды χ ₁, χ ₂, D ₁, D ₂. Другими словами с помощью этого условия можно решить любую задачу о критичности: если задан состав АЗ и отражателя (χ ₁, χ ₂, D ₁, D ₂), можно определить критические размеры системы; и наоборот.

Тем не менее докажем, что (16) является условием критичности. Очевидно, что в качестве исходного положения для такого доказательства может служить следующее: если в условии (16) мы уберем отражатель (зададим T =0), то должны получить условие критичности бесконечно плоского ЯР без отражателя. Если T =0, правая часть условия (16) начнет стремиться к бесконечности. Тогда (16) примет вид:

Что и требовалось доказать.

Условие критичности (16) позволяет оценить критические размеры отражателя. В правой части этого условия функция гиперболического котангенса при аргументе, равном примерно 2,65, с точностью в 1% равна своему максимальному значению 1, т.е. в этом случае правая часть больше расти не может. Следовательно, для оценок критической толщины отражателя можно воспользоваться условием: χ ₂ T ≈2,65. Так как χ ₂=1/ М ₂, то T ≈2,65 M ₂. Таким образом, оценки показывают, что нет смысла делать отражатель толще, чем 2¸3 длины миграции нейтронов в отражателе. Однако на практике решающими оказываются экономические соображения, и размер отражателя выбирают меньше. Так, например, в ЯР с графитовыми отражателями оценки дают Т =110¸160 см, реально Т =60¸80 см.

Как отмечалось, благодаря применению отражателя снижается утечка нейтронов из АЗ, поэтому критические размеры АЗ могут быть уменьшены в ЯР с отражателем. Количественно экономию в размерах АЗ при использовании отражателя определяют с помощью величины, называемой «эффективная добавка за счет отражателя» – δ. По определению это разница между размерами АЗ в реакторе без отражателя и размерами АЗ в реакторе с отражателем.

Рассмотрим бесконечно плоский ЯР. Пусть ЯР в форме бесконечной пластины без отражателя имел критический размер Н ₀ (с учетом длины экстраполяции), и с отражателем его критический размер известен – Н. Известно, что Н ₀> Н. По определению эффективная добавка за счет отражателя будет равна:

(17)

В критическом ЯР без отражателя материальный параметр равен геометрическому, тогда. В (17) выразим ширину ЯР с отражателем и подставим туда найденное выражение для Н ₀:. Теперь это полученное выражение подставим в условие критичности (16)

В аргументе тангенса открываем скобки и получаем

В итоге получаем, что условие критичности принимает вид:

, (18)

отсюда эффективная добавка за счет отражателя равна:

(19)

Если ЯР большой H >> d, в выражении (18) аргумент тангенса мал, а сам тангенс можно разложить в ряд, ограничившись первым членом разложения:

, учитывая, что χ ₂=1/ М ₂, получаем:

(20)

Проанализируем (20), рассмотрев предельные случаи.

1. Тонкий отражатель М ₂>> T. Тогда аргумент гиперболического тангенса в (20) будет мал, сам гиперболический котангенс можно разложить в ряд, ограничившись первым членом разложения. Отсюда, т.е. δ ~ T. В этом случае величина δ определяется толщиной отражателя.

2. Толстый отражатель М ₂<< T, т.е., следовательно,. Тогда, т.е. δ ~ M ₂. В этом случае величина δ определяется ядерно-физическими свойствами отражателя.

Анализ полученных результатов показал, что при введении отражателя первоначально величина δ растет с ростом толщины отражателя, следовательно Критические размеры АЗ уменьшаются. Достигнув определенной толщины, рост δ прекращается независимо от роста толщины отражателя (прекращается уменьшение критических размеров АЗ). В этом случае роста δ, а значит и уменьшения размеров АЗ, можно добиться, использую другой материал отражателя, у которого выше замедляющие свойства: длина диффузии и возраст.

На основании выше изложенного можно установить алгоритм рассмотрения задач для ЯР различных форм с отражателем в одногрупповом приближении:

· постановка задачи (исходные уравнения, граничные условия);

· решение исходных уравнений и определения функций распределения потоков нейтронов в АЗ и отражателе;

· установление условия критичности (доказательство полученного условия как условия критичности)

· введение эффективной добавки за счет отражателя, ее нахождение с помощью условия критичности;

· анализ величины δ при различных толщинах отражателя.