Сезонные колебания и волны

Важнейшие методы выделения основной тенденции (тренда) и периодических процессов (циклов).

Компоненты ряда динамики.

Ряд динамики может быть подвержен влиянию факторов эволюционного и осциллятивного характера, а также находиться под влиянием факторов разного, как правило случайного, воздействия.

Влияние эволюционного характера — это изменения, определяющие общее направление развития, как бы длительную эволюцию, которая пробивает себе дорогу через другие систематические и случайные колебания. Такие изменения динамического ряда называются основной тенденцией развития, или трендом.

Влияние периодического характера — это циклические (конъюнктурные) и сезонные колебания.

Циклические колебания можно представить в виде синусоиды y = sint.

Циклические колебания в экономических расчетах примерно соответствуют так называемым циклам конъюнктуры.

Сезонные колебания — это колебания, периодически повторяющиеся в некоторое определенное время каждого года, дня месяца или часа дня. Эти изменения отчетливо наблюдаются на графиках многих рядов динамики, содержащих данные за период не менее одного года.

В рядах динамики могут наблюдаться также и случайные колебания, являющиеся результатом действия большого количества относительно слабых (или разнонаправленных) второстепенных факторов.

В общем случае в ряду динамики можно выделить его четыре основные компоненты:

1) основная тенденция (тренд) (Т);

2) циклическая или конъюнктурная (К);

3) сезонная (S);

4) случайные колебания (E).

Если ряд динамики разбить на различные компоненты, то функция, его описывающая, будет иметь вид:

Y = f (T, K, S, E).

В зависимости от взаимосвязи компонентов между собой может быть построена аддитивная или мультипликативная модель ряда.

Аддитивная модель ряда динамики имеет вид:

Y = T + K + S + E (10.6)

и характеризуется тем, что циклические и сезонные колебания остаются постоянными.

Мультипликативная модель ряда имеет вид:

Y = T × K × S × E. (10.7)

В этой модели характер циклических и сезонных колебаний остается постоянным только по отношению к тренду.

В социально-экономических рядах динамики можно наблюдать:

· основную тенденцию развития (осредненную компоненту динамики);

· закономерность изменения отклонений фактических уровней от тренда;

· автокорреляционные зависимости.

Основная тенденция развития аналитически выражается с помощью математической функции, вокруг которой варьируют фактические уровни исследуемого явления. В данном случае значения тренда в отдельные моменты времени будут являться математическими ожиданиями (средними значениями) ряда динамики. Часто основную тенденцию развития называют квази-детерминированной (осредненной) составляющей ряда динамики.

Автокорреляционные зависимости представляют собой тенденцию вариации связи между отдельными уровнями ряда динамики (зависимость текущего значения уровней ряда от предыдущих).

Начальным этапом выделения и анализа тренда является проверка гипотезы о существовании тренда.

Существует около десятка критериев проверки наличия тренда. Рассмотрим некоторые из них.

· Проверка существенности разности средних. Ряд динамики разбивается на две равные или почти равные части. Проверяется гипотеза о существовании разности средних: .

Поскольку число членов анализируемого ряда, как правило, мало, то для проверки гипотезы воспользуемся теорией малой выборки. За основу проверки берется t α-критерий Стьюдента. При t ≥ tα гипотеза об отсутствии тренда отвергается, и наоборот, при t меньше или равном tα гипотеза (H ₀) принимается. Здесь t — расчетное значение, найденное для анализируемых данных. tα — табличное значение критерия при уровне вероятности ошибки, равном α.

В случае равенства или при несущественном различии дисперсий двух исследуемых совокупностей () определение расчетного значения t производится по формуле:

, (10.8)

где и — средние для первой и второй половин ряда динамики;

n ₁ и n ₂ — число наблюдений в этих рядах;

σ — среднеквадратическое отклонение разности средних, определяемое по формуле:

. (10.9)

Дисперсии для первой и второй частей ряда рассчитываются по формуле:

. (10.10)

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий осуществляется с помощью F-критерия, основанного на сравнении расчетного отношения с табличным. Расчетное значение критерия определяется по формуле:

. (10.11)

Если расчетное значение F меньше табличного при заданном уровне значимости, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается. Если F больше, чем табличное значение, то гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется и зависимость для расчета t не пригодна для использования.

При выполнении условия о равенстве дисперсий определяется значение tα и проверяется гипотеза (H ₀). При этом теоретическое значение tα определяется с числом степеней свободы, равным n ₁ + n ₂ - 2.

Рассмотренный метод дает положительные результаты для рядов с монотонной тенденцией. Когда же ряд динамики меняет общее направление развития, то точка поворота тенденции оказывается близкой к середине ряда. Поэтому средние двух отрезков будут близки, а проверка может не показать наличия тенденции.

· Метод Фостера—Стюарта. Второй метод проверки наличия тенденции называется методом Фостера—Стюарта, который, помимо определения наличия тенденции, позволяет обнаружить тренд дисперсии уровней ряда динамики, что важно знать при анализе и прогнозировании экономических явлений.

После установления наличия тенденции в ряду динамики производится ее описание с помощью методов сглаживания. К этим методам относятся следующие.

· Метод усреднения по левой и правой половине. Разделяют ряд динамики на две части, находят для каждой из них среднее арифметическое значение и проводят через полученные точки линию тренда на графике.

· Метод простой скользящей средней. Заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем — средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее — начиная с третьего, и т.д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы скользят по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий. Отсюда название — скользящая средняя.

· Метод взвешенной скользящей средней. Основное отличие от предыдущего метода состоит в том, что уровни, входящие в интервал усреднения, суммируются с различными весами, т.к. аппроксимация в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием уровней, рассчитанных по полиному n-го порядка:

, (10.12)

где i — порядковый номер уровня интервала сглаживания.

Для отображения основной тенденции развития социально-экономических явлений применяются полиномы различной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

Полиномы имеют следующий вид:

Полином первой степени

;

Полином второй степени

;

Полином третьей степени

;

Полином n-степени

.

В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамического ряда. Согласно этому правилу полином первой степени (прямая) применяется как модель такого ряда, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны; полиномы второй степени — для отражения ряда с постоянными вторыми разностями (ускорениями); полиномы третьей степени — с постоянными третьими разностями и т.д.

Сезонные колебания в ряду динамики характеризуются специальными показателями, которые называются индексами сезонности (I _S).

Совокупность этих показателей отражает сезонную волну.

Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней.

Для выявления сезонных колебаний обычно используют данные за несколько лет (не менее трех), распределенные по месяцам.

Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания. Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например за 3 года (), затем из них вычисляется средний уровень для всего ряда (), далее определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда:

. (10.13)

Пример 10.1. Рассчитаем индексы сезонности, основываясь на месячных данных о внутригодовой динамике числа браков, расторгнутых населением условного города за 1996—1998 гг., представленных в таблице 10.2.

Таблица 10.2

Динамика браков, расторгнутых населением условного города, и расчет индексов сезонности

Месяц	Число расторгнутых браков	Индекс сезонности, ( / )100%
1996, у i	1997, у i	1998, у i	В среднем за 3 года,
Январь				165,7	122,4
Февраль				147,0	108,6
Март				150,7	111,3
Апрель				136,0	100,4
Май				136,0	100,4
Июнь				125,7	92,8
Июль				126,0	93,1
Август				120,7	89,1
Сентябрь				118,0	87,2
Октябрь				128,0	94,5
Ноябрь				131,7	97,3
Декабрь				139,3	102,9
Средний уровень ряда,	138,77	135,6	131,8	135,4	100,0

· По данным табл. 10.2 вычислим усредненные значения уровней по одноименным периодам путем расчета средней арифметической простой.

Январь: = (195 + 158 + 144)/3 =165,7.

Февраль: = (164 + 141 + 136)/3 =147,0 и т.д. (гр. 4 табл. 10.2).

· Используя вычисленные выше помесячные уровни (), рассчитываем общий средний уровень :

,

где m — число лет;

— сумма среднегодовых уровней ряда динамики.

· Рассчитываем по месяцам индексы сезонности.

Январь: I_S1 = 165,7/135,4 × 100% = 122,4%.

Февраль: I_S2 = 147,0/135,4 × 100% = 108,6%; и т.д. (гр. 5 табл. 10.2).

Вывод. Полученная совокупность индексов сезонности характеризует сезонную волну развития числа браков, расторгнутых населением города, во внутригодовой динамике.

В случае, если ряд динамики содержит определенную тенденцию в развитии, то, прежде чем приступить к вычислению сезонной волны, необходимо обработать фактические данные таким образом, чтобы была выявлена общая тенденция. Обычно для этого применяется аналитический способ выравнивания ряда.

Подобно сезонной компоненте, в ряду динамики может также присутствовать циклическая компонента, представляющая собой волнообразное движение, но более продолжительная и менее предсказуемая, чем сезонная компонента. Сущность классического метода устранения циклической компоненты заключается в исключении (или усреднении) основной тенденции и сезонной компоненты из ряда динамики, тогда в ряду останется циклическая компонента.