double arrow

Изображение синусоидальных величин в виде временных диаграмм, векторов и комплексных чисел

Производить операции умножения, сложения и т.п. с токами и напряжениями, изображенными в виде волновых диаграмм, неудобно. Поэтому на практике синусоидальные величины представляют в виде векторов, а затем указанные операции производят с ними. Это значительно упрощает расчеты и делает их более наглядными.

Представление синусоиды в виде волновой диаграммы и вращающегося вектора показано на рисунке.

Вращая вектор I против часовой стрелки его конец будет описывать окружность. При вращении вектора с частотой w его проекция на вертикальную ось изменяется по синусоидальному закону и равна мгновенному значению синусоиды в соответствующие моменты времени. Хорошо видны следующие аналогии:

Рис. 12

− длина вектора равна амплитуде синусоиды;

− угол между горизонтальной осью и вектором равен начальной фазе синусоиды.

В электротехнике векторы изображают не вращающимися, а неподвижными, для момента времени t=0 и их масштабы выбирают так, чтобы длина вектора соответствовала не амплитуде, а действующему значению. Угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе. Учитываемые параметры (действующее значение и начальная фаза) полностью определяют синусоидальную функцию и позволяют для любого вектора восстановить ее и наоборот.

Так можно представить целую совокупность различных величин u, i, e. Если эти величины одинаковой частоты, то их совокупность представляет собой векторную диаграмму.

Рис. 13

На рисунке для примера представлена совокупность векторов I1 и I2, а также результирующий вектор I3, определяемый их суммой. Угол измеренный между векторами называют углом сдвига фаз. Если угол между двумя векторами равен нулю, то говорят, что они совпадают по фазе. Если угол равен 180°, то говорят, что векторы находятся в противофазе.

Комплексный метод расчета

Все графические методы расчета электрических цепей синусоидального тока, в том числе и метод векторных диаграмм, не могут обеспечить высокой точности или очень сложны и трудоемки. Комплексный метод расчета, базирующийся на теории комплексных чисел, довольно прост и позволяет добиваться высокой точности.

Любой вектор на плоскости, проведенный из начала координат и изображающий действующее значение ЭДС, напряжения или тока, однозначно определяется точкой, соответствующей концу этого вектора (точка А на рисунке). На плоскости комплексных чисел точке А соответствует одно комплексное число А.

Рис. 14

Таким образом, любой вектор однозначно изображается комплексным числом, соответствующим концу этого вектора.

Комплексное число имеет вещественную и мнимую составляющие:

,

где А' — координата точки А на вещественной оси; А" координата точки А на мнимой оси; .

Умножение какого-то числа на j означает поворот его на угол p/2 по отношению к положительному направлению вещественной оси в направлении против часовой стрелки.

Координаты точки А могут быть выражены через длину вектора |ОА|=А и угол j: А' = Асоsj, А" = Аsinj. Тогда комплексное число можно записать следующим образом:

,

где- модуль комплексного числа, равный длине вектора ОА;- аргумент комплексного числа, т. е. угол, на который вектор ОА повернут по отношению к положительному направлению вещественной оси.

Используя формулу Эйлера , получим

.

Таким образом, вектор, расположенный в комплексной плоскости, представлен тремя различными формами записи: алгебраической, тригонометрической и показательной.

Над комплексными числами, изображающими символически векторы ЭДС, напряжений и токов, можно производить все алгебраические действия. При сложении и вычитании удобнее пользоваться алгебраической формой записи, а при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корней - показательной.

Так сложение (вычитание) двух комплексных чисел осуществляется в алгебраической форме их представления сложением (вычитанием) соответственно их действительных и мнимых частей:

.

Умножение (деление) двух комплексных чисел осуществляется в показательной форме их представления по следующим правилам. Модуль результирующего числа равен произведению (частному от деления) модулей исходных чисел, а аргумент - равен сумме (разности) аргументов исходных чисел:

. Для перехода от одной формы записи комплексного числа к другой используют тригонометрическую форму представления:

, ,

, , ,

.


Сейчас читают про: