Периодический взнос на погашение кредита (взнос за амортизацию денежной единицы)

Текущая стоимость аннуитета (текущая стоимость единичного аннуитета)

Аннуитет - это денежный поток, в котором все суммы возникают не толь­ко через одинаковые промежутки времени, но и равновеликие. Таким обра­зом, аннуитет — это денежный поток, представленный одинаковыми сумма­ми. Аннуитет может быть исходящим денежным потоком по отношению к инвестору (например, осуществление периодических равных платежей) либо входящим денежным потоком (например, поступление арендной платы, которая обычно устанавливается одинаковой фиксированной суммой).

Формула обычного аннуитета:

(1 – (1/ (1 + i) ^ n)) / i

Пример. Какую сумму необходимо положить на депозит под 10% годовых, чтобы затем 5 раз снять по 300 тыс. руб?

Рассчитаем текущую стоимость аннуитета:

300 • 3,7908 = 1137 тыс. руб.

Таким образом, инвестор снимает со счета пять раз по 300 тыс. руб., или 1500 тыс. руб. Разница между первоначальным вкладом 1137 тыс. руб. и на­коплением 1500 тыс. руб. обеспечивается суммой процентов, начисляемых на уменьшающийся остаток вклада по технике сложного процента. Этот процесс предполагает в конечном счете нулевой остаток на депозите.

Проверим данное утверждение методом депозитной книжки. Вклад в 1137 тыс. руб. позволит 5 раз в конце года снять 300 тыс. руб., если банк начисляет 10% годовых.

Таблица.

Год	Остаток на начало года	Плюс 10% на остаток	Минус годовое изъятие	Остаток на конец года
Первый
Второй
Третий
Четвертый
Пятый

Предыдущие рассуждения основывались на предположении, что аннуи­тет возникает в конце периода. Такой аннуитет называется обычным.

Однако на практике возможна ситуация, когда первый платеж произой­дет одновременно с начальным поступлением. В последующем аннуитеты будут возникать через равные интервалы. Такой аннуитет называется аван­совым, или причитающимся аннуитетом.

Формула авансового аннуитета:

(1 – (1/ ((1 + i) ^ (n – 1))) / I) + 1

Например, фактор текущей стоимости авансового аннуитета, возникаю­щего 7 раз при ставке дисконта 12%, определяется следующим образом:

(7 - 1 = 6), ставка дисконта - 12%.

Его значение 4,1114.

Рассчитаем фактор текущей стоимости авансового аннуитета для за­данного потока: 4,1114 + 1,0 = 5,1114.

Пример. Какую сумму можно ежегодно снимать со счета в течение пяти лет, если первоначальный вклад равен 1500 тыс. руб.? Банк начисляет ежегодно 14% при условии, что снимаемые суммы будут одинаковы.

Функция «периодический взнос на погашение кредита» явля­ется обратной по отношению к функции «текущая стоимость аннуитета».

Текущая Фактор

стоимость = Аннуитет • текущей стоимости,

аннуитета аннуитета

то определение величины аннуитета при помощи фактора текущей сто­имости аннуитета возможно по формуле

Текущая 1

Аннуитет = стоимость • ---------------------

аннуитета Фактор текущей

стоимости аннуитета

Найдем фактор взноса на погашение кредита при условии, что взно­сов будет 5, а ставка - 14%. Фактор равен 0,2913.

Рассчитаем величину аннуитета:

1500 * 0,2913 = 437 тыс. руб.

Таким образом, если положить на счет под 14% годовых 1500 тыс. руб., можно пять раз в конце года снять по 437 тыс. руб. Дополнительно полученные деньги в сумме 685 тыс. руб. [(437 • 5) - 1500] являются результатом начисления процентов на уменьшающийся остаток вклада.

Аннуитет, по определению, может быть как поступлением (т.е. входя­щим денежным потоком), так и платежом (т.е. исходящим денежным пото­ком) по отношению к инвестору. Поэтому данная функция может использо­ваться в случае необходимости расчета величины равновеликого взноса в погашение кредита при заданном числе взносов и заданной процентной став­ке. Такой кредит называют самоамортизирующимся.

Пример. Рассчитаем величину ежегодного взноса в погашение кредита в сумме 40 000 тыс. руб., предоставленного на 15 лет под 20% годовых.

Определим фактор периодического взноса на погашение кредита, если ставка - 20%, а число взносов – 15 (0,2139).

Рассчитаем величину взноса:

40000 * 0,2139 = 8555.3 тыс. руб

Заемщик уплатит кредитору за 15 лет:

128329,3 = (8555,3 • 15) тыс. руб.,

что превышает величину выданного кредита на 88329,3 тыс. руб. (128329,3 - 40000).

Разница является суммой процентов, уплаченных заемщиком за весь период кредитования, при условии, что основной долг постоянно уменьша­ется.