Случайный процесс называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны только в строго определенные, заранее фиксированные моменты времени t 1, t 2, …. В промежутке времени между этими моментами система сохраняет свое состояние.
Рассмотрим физическую систему S, которая может находиться в любом из множества состояний: S 1, S 2, …, Sn. Моменты перехода из состояния в состояние фиксированы: t 1, t 2, t 3, …, tk, ….
Будем называть эти моменты шагами и рассматривать случайный процесс, происходящий в системе S как функцию целочисленного аргумента: 1, 2, …, k, … (номер шага). Случайный процесс, происходящий в системе, состоит в том, что в последовательные моменты времени t 1, t 2, t 3, … система S оказывается в тех или других состояниях, ведя себя, например, следующим образом:
.
В общем случае в моменты времени t 1, t 2, t 3, … система может не только менять состояние, но и оставаться в прежнем, например:
.
Обозначим через событие, состоящее в том, что после k -го шага система находится в состоянии Si. Очевидно, что при любом k события образуют полную группу (то есть система обязательно будет находиться в одном из состояний) и несовместны (система не может находиться в двух и более состояниях в один момент времени).
|
|
Процесс, происходящий в системе, можно представить как последовательность (цепочку) событий, например:
Такая случайная последовательность событий называется марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния в не зависит от того, когда и как система пришла в состояние.
Марковская цепь описывается с помощью вероятностей состояний. Обозначим через вероятность того, что после k -го шага система окажется в состоянии:
.
Например, вероятности состояний после первого шага:
,
вероятности состояний после второго шага:
,
…
вероятности состояний после k -го шага:
Очевидно, что для каждого шага k сумма вероятностей состояний равна единице:
,
так как это вероятности несовместимых событий, образующих полную группу.
Для удобства расчетов запишем вероятности состояний системы после k -го шага в виде вектора вероятностей состояний v (k):
Теперь можно сформулировать основную задачу при исследовании марковских процессов: определить вероятности состояний системы (элементы вектора v(k)) для любого шага k. Иначе говоря, необходимо ответить на вопрос: какова вероятность того, что после шага k система окажется в состоянии, какова вероятность, что окажется в состоянии и т.д.
В качестве примера рассмотрим некоторую систему S со следующим графом состояний:
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
S5 |
S6 |
|
|
Рис. 5.
Случайный процесс (марковскую цепь) можно представить себе так, как будто точка, изображающая систему, случайным образом перемещается (блуждает) по графу состояний, перескакивая из состояния в состояние в моменты времени t 1, t 2, …, а иногда и задерживаясь на какое-то число шагов в одном и том же состоянии. Например, последовательность переходов
можно изобразить на графе состояний пунктирными дугами, взвешенными номерами шагов:
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
S5 |
S6 |
Рис. 6.
(Задержка системы в состоянии на третьем шаге обозначена петлей при вершине.)
Для любого шага (момента времени t 1, t 2, …, tk, … или номера 1, 2, …, k, …) существует вероятности перехода системы из любого состояния в любое другое (некоторые из них равны нулю, если непосредственный переход за один шаг невозможен), а также вероятности задержки системы в данном состоянии. Эти вероятности называются переходными вероятностями марковской цепи и обозначаются pij (вероятность перехода из состояния в за один шаг).
Разница между и pij:
· – вероятность состояния (вероятность, что после k-го шага система окажется в состоянии);
· pij – вероятность перехода (вероятность перехода из состояния в за один шаг).
Переходную вероятность pij можно записать как условную вероятность наступления события при условии, что перед этим произошло событие:
.
Существует два вида марковских цепей:
· однородная – если переходные вероятности не зависят от номера шага (одинаковые для каждого шага);
· неоднородная – если переходные вероятности зависят от номер шага (различаются от шага к шагу).