С теориями количественной и порядковой полезности

Взаимосвязь теории отношения предпочтения-безразличия

Лекция 5. Теория отношения предпочтения-безразличия

Если потребитель предпочитает набор потребительскому набору и из этих наборов обязательно выберет набор , то говорят, что на потребительских наборах и задано отношение сильного предпочтения или . Отношение предпочтения не обладает свойством рефлексивности .

Если потребителю все равно, какой из двух наборов выбиратьили , то говорят, что на потребительских наборах и задано отношение безразличия, т.е. ̴ . Отношение безразличия есть отношение эквивалентности, обладающее свойством рефлексивности ̴ , симметричности ̴ ̴ и транзитивности ̴ ̴ ̴ .

Если потребительский набор предпочитается или безразличен для набора , то говорят, что на потребительских наборах и задано отношение предпочтения-безразличия, т.е. (). Отношение предпочтения-безразличия представляет собой отношение порядка, т.е. такое бинарное отношение, которое обладает свойствами рефлексивности , антисимметричности ̴ , транзитивности . Функция полезности задает отношение предпочтения-безразличия следующим образом: . Или ̴ , .

Карта линий безразличия задает отношение предпочтения-безразличия следующим образом: если потребительский набор находится на линии безразличия , расположенной выше и правее линии , на которой находится набор , то . Если наборы находятся на одной кривой безразличия, то ̴ . Имеется отношение предпочтения-безразличия, так называемое лексикографическое упорядочение, для которого не существует функции полезности. Таким образом, кроме количественной и порядковой теории полезности теория отношения предпочтения-безразличия представляет собой более общую теорию потребительского поведения.

Отношение предпочтения-безразличия обладает свойством полноты. Свойство полноты означает, что множество всех потребительских наборов таких, что , является вполне упорядоченным множеством по отношению предпочтения-безразличия . По отношению , которое для -мерных векторов понимается как покоординатное, множество потребительских наборов является только частично упорядоченным множеством.

Множество всех потребительских наборов , предпочитаемых или безразличных набору , называется хорошим множеством для набора , т.е. .

Множество всех потребительских наборов , которым набор предпочитается или безразличен, называется плохим множеством для набора , т.е. .

Множество всех потребительских наборов , безразличных набору , называется множеством безразличия для набора , т.е. ̴ .

Неравенство для -мерных векторов и понимается покоординатно , неравенство означает, что справедливо неравенство и хотя бы для одной координаты справедливо строгое неравенство .

Свойство ненасыщаемости означает, что из следует, что , рис. 4.1. Обратное , очевидно, не имеет места. На рис. 4.1. , однако неверно, что , ибо для них . Свойство ненасыщаемости справедливо не всегда (кривые безразличия в таком случае напоминают классическую кривую предложения с положительным наклоном).

Отношение предпочтения-безразличия обладает свойством непрерывности множеств безразличия , строгой выпуклости для любого потребительского набора, гладкости функции полезности, если функция полезности включается в рассмотрение.

Отношение на множестве потребительских наборов называется отношением предпочтения-безразличия, если для него характерны восемь свойств: рефлексивности, антисимметричности, транзитивности, полноты, ненасыщаемости, непрерывности, строгой выпуклости и гладкости функции полезности.

Отношение предпочтения-безразличия и функция полезности. Отношение предпочтения-безразличия, для которого выполняются названные выше свойства, кроме строгой выпуклости и гладкости функции полезности, однозначно определяет функцию полезности . В случае в каждой точке кривой безразличия функция полезности принимает конкретное значение. Поэтому и множество значений полезности непрерывно. Непрерывность означает, что если , то ; или наоборот, если , то . Доказательство не приводится.

Лексикографическое упорядочение -мерных векторов аналогично упорядочению студентов группы по алфавиту: Александров, Белоусов, Васильев и т.д. Если , то вектор лексикографически предпочитается вектору , что записывается так:. Если и ,то и т.д.

Лексикографическое упорядочение обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности, транзитивности, полноты, ненасыщаемости. Однако оно не удовлетворяет предположению о непрерывности. Это утверждение приводится без доказательства. Для лексикографического упорядочения не существует функции полезности. Положение приводится без доказательства.