Потенциальная энергия

Как было отмечено, потенциальная энергия – это величина, показывающая, какую работу может совершить механическая система. Причем эта работа связана с массой и скоростью материальной точки. Другой тип механической энергии – это потенциальная энергия. Она менее универсальна, чем кинетическая энергия и проявляется не всегда. Одна из важных особенностей потенциальной энергии состоит в том, что она всегда определяется с точностью до произвольной постоянной. Работа, которую совершает система с потенциальной энергией, равна разности потенциальной энергии в начальном и конечном состояниях. Приведем несколько примеров.

Пусть материальная точка массой m находится на высоте h над горизонтальной поверхностью. Тогда говорят, что её потенциальная энергия равна , где g – ускорение свободного падения при данных условиях. При этом мы могли бы проводить отсчет «высоты», скажем, от потолка комнаты. Независимо от этого и вне зависимости от вида траектории, по которой падает материальная точка (свободное падение, без трения), работа совершаемая силой тяжести одинакова и равна .

Подобным же образом потенциальной энергией обладает материальная точка на пружине, жесткость которой равна k. В самом деле, при небольших растяжениях пружины , где – длина недеформированной пружины можно записать силу Гука

.

Если пружину растягивать (заметим, что перемещения конца пружины противоположно по направлению действующей силы, что приводит к замене знака «–» на знак «+»), то совершаемая над пружиной работа, равная запасенной потенциальной энергии, составит

.

Полная потенциальная энергия определяется неопределенным интегралом, то есть равна

.

Произвольная постоянная может быть задана, если указать начало системы отсчета. Если конец нерастянутой пружины совпадает с началом отсчета, то константу принимают за нуль.

Потенциальная энергия связана с силой, действующей на систему. Рассматривая движение только вдоль оси Х, легко установить, что

,

или, точнее,

.

Обобщение последней формулы на трехмерное движение дает

.

Выражения, стоящие справа (без учета знака «–») называют оператором набла, , или оператором градиент, , или просто записывают в виде . Все эти обозначения эквивалентны. Использование «круглых» символов и подобных им показывает, что производная вычисляется при фиксированных значениях остальных переменных, т. е. находится частная производная.