Разность

Объединение

А È В — наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности

с функцией принадлежности

Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения , а на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E. Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые логические операции над нечеткими множествами (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Графическая интерпретация логических операций

Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.

Треугольной нормой (Т-нормой) называется двуместная действительная функция Т: [0,1]´[0,1]®[0,1], удовлетворяющая следующим условиям:

1) Т (0,0)=0; Т (,1)= ; Т (1, )= – ограниченность;

2) Т (,) £ Т (,), если £ , £ – монотонность;

3) Т (,) = Т (,) – коммутативность;

4) Т (, Т (,)) £ Т (Т (,), ) – ассоциативность.

Простым случаем треугольных норм являются:

– min (,),

– произведение ×,

– max (0, +-1).

Треугольной конормой (Т-конормой или S-нормой) называется двуместная действительная функция S: [0,1]´[0,1]®[0,1], со свойствами:

1) S (1, 1)=1; S (, 0)=; S (0, )= – ограниченность;

2) S (,)³ S (,), если ³ , ³ – монотонность;

3) S (,) = S (,) – коммутативность;

4) S (, S (, )) £ S (S (, ), ) – ассоциативность.

Примеры Т-конорм:

– max (,),

– + – ×,

– min (1, +).

Алгебраические операции

Теперь представим алгебраические операции с нечеткими множествами.

Алгебраическое произведение А и В обозначается А×В и определяется так:

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается А В и определяется так:

На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень a нечеткого множества А, где a – положительное число. Нечеткое множество А^a определяется функцией принадлежности . Частными случаями возведения в степень являются:

– CON(А)= А² – операция концентрирования (уплотнения),

– DIL(А)= А^0,5 – операция растяжения,

которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.

Декартово (прямое) произведение нечетких множеств. Пусть А₁, А₂,…, А_n – нечеткие подмножества универсальных множеств Е₁, Е₂,…, Е_n соответственно. Декартово или прямое произведение А = А₁ ´ А₂ ´…´ А_n является нечетким подмножеством множества Е = Е₁ ´ Е₂ ´…´ Е_n с функцией принадлежности