Т.е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

1 2 3 4 5 6

Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.

Т.е. событие В не зависит от А, что и требовалось доказать.

Зависимость и независимость событий всегда взаимны: если А зависит от В, то и В зависит от А, и наоборот.

Сформулированное правило называют правилом умножения вероятностей.

Правило умножения вероятностей легко обобщается на случай произвольного числа событий:

Р(A₁ A₂... A_n) = Р(A₁) Р(A₂/A₁) Р(A₃/ A₁A₂)…Р(A_n/A₁A₂…A_{n -1}),

т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

Событие А называется независимым от события В, если его вероятность не зависит от того, произошло В или нет, т.е. Р(А/В) = Р(А).

В противном случае, если Р(А/В) ¹ Р(А), событие А зависит от В.

Пример1. Опыт – два раза подбрасывается монета. Событие А - появление герба при первом бросании монеты. Событие В - появление герба при втором бросании монеты.

События независимы.

Пример 2. Опыт – выбор шара из урны с двумя белыми и одним черным шарами. Событие А - появление белого шара при первом вынимании. Событие В - появление белого шара при втором вынимании.

События зависимые.

Докажем это. Пусть событие А не зависит от В:

Р(А ‌ В) = Р(А).

Запишем правило умножения в двух формах:

Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В/А)

Р(АВ) = Р(В) ∙ Р(А/В).

Отсюда, заменяя в последнем выражении условную вероятность Р(А/В) на «безусловную» Р(А), имеем:

Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А).

Или, предполагая, что Р(А) ¹ 0, и деля обе части равенства на Р(А),

Р(В/А) = Р(В),

В связи с этим можно дать новое определение независимых событий:

Для независимых событий правило умножения вероятностей принимает особенно простой вид:

Р(АВ) = Р(А) Р(В),

Несколько событий A₁, A₂, …, A_n называются независимыми, если любое из них не зависит от любой комбинации (произведения) любого числа других. Для независимых событий правило умножения принимает вид:

Р(A₁∙ A₂∙ …∙ A_n) = Р(A₁) ∙ Р(A₂) ∙…∙Р(A_n)

Или, короче, пользуясь знаком произведения:

= ,