Тема 5.2 Дифференциальное уравнение, описывающее дугу

Лекция 16

Классическая каналовая модель.

Уравнение Эленбааса-Хеллера (1934 г.)

Уже в тридцатых годах прошлого столетия на основе теоретических и экспериментальных работ сформировалось представление, что в столбе дуг высокого давления с достаточно хорошим приближением реализуется состояние термической плазмы. Под этим термином подразумевается, что все основные процессы в такой плазме являются однозначными функциями температуры, одинаковой для всех плазменных частиц. На основе этого Эленбаасом и Хеллером была предложена теория столба дуги, которая послужила основой для последующих теорий. Проведем элементарный вывод основного уравнения этой теории, описывающего баланс энергии в плазме разряда.

Предварительно оговорим исходные условия. Анализируем однородный по длине цилиндрический столб дуги в продольном электрическом поле, напряженность которого Е. Считаем, что дуга горит в неподвижном газе, находящемся при постоянном давлении в охлаждаемой трубке радиуса R_t. Рассматриваем режимы, при которых излучательные потери энергии из столба малы, а потери энергии из столба определяются в основном процессами теплопроводности в столбе дуги.

Как известно, тепловой поток в среде описывается выражением

J= - λgradT. (1)

Здесь J - удельный тепловой поток, λ - коэффициент теплопроводности, Т - температура.

В силу допущенной однородности столба по длине и его цилиндрической симметрии все параметры вещества в столбе являются функциями только текущего радиуса столба r. В частности, градиент температуры в этом случае представляет собой производную от температуры по радиусу, то есть в столбе реализуются лишь радиальные потоки тепла.

Чтобы записать дифференциальное уравнение, описывающее связь между параметрами столба, проанализируем энергобаланс тонкого цилиндрического слоя столба радиуса r и толщины Δr. Для упрощения записи выкладок рассмотрим энергобаланс цилиндрического слоя в расчете на единицу его длины. Очевидно, что энергобаланс слоя складывается из следующих частей: входящего теплового потока Q₊ через внутреннюю стенку слоя радиуса r; тепловой энергии Q_E, генерируемой в слое протеканием тока, и выходящего теплового потока Q_- через наружную стенку слоя радиуса r+Δr. В итоге баланс запишется в виде:

Q₊ + Q_E=Q_-. (2)

Раскроем выражения, входящие в энергобаланс.
Входящий тепловой поток представим в виде:

Q₊ = 2πrJ(r). (3)

Мощность тепловой энергии Q_E, генерируемой в цилиндрическом слое за счет протекания тока, запишем как:

Q_E = 2πrΔrσ(r) E², (4)

где σ(r) - удельная электропроводность среды в слое радиуса r.

Величину Q_- выразим следующим образом:

Q_- = 2π(r+Δr)J(r+Δr) = 2π(r+Δr)(J(r) + (dJ/dr)Δr). (5)

Подставляя выражения (3-5) в уравнение энергобаланса (2), придем после элементарных преобразований полученного выражения к дифференциальному уравнению, которое, обычно, записывается в виде:

-r^-1d(rJ)/dr + σE² = 0. (6)

Это и есть известное уравнение Элеенбаса-Хеллера. Граничные условия для него: на оси столба (r=0) производная dT/dr=0 вследствие симметрии, при r = R_t температура T = T_t, где T_t - температура стенок трубки.

Каналовая модель дуги (1932 г.). Принцип минимума Штеенбека.

Решить уравнение (6) в общем виде аналитически не удалось до настоящего времени. Однако разрабатывались различные приближенных методы его решения.
В частности, известен метод приближенного решения этой задачи, основанный на учете качественного различия разных областей дуги. Эти различия отражены в хорошо известной каналовой модели дуги, предложенной Штеенбеком в 1932 г., то есть еще до установления уравнения (6). Данная модель учитывает тот факт, что электропроводность плазмы очень сильно зависит от температуры. Температура в столбе дуге спадает от оси к стенкам, поэтому основная часть тока протекает в приосевой области трубки, где температура наиболее высокая. Поэтому в предложенной модели столб дуги делят на зону проводимости диаметром 2R с постоянным значением температуры Т и зону потерь энергии, температура которой изменяется от величины Т до Т_t - температуры стенок, окружающей столб трубки. Причем в зоне потерь энергии считается, что электропроводность вещества равна нулю, то есть ток через эту зону не течет.
Протекание тока через центральную зону каналовой модели описывается законом Ома:

I =πR²σ(T)E. (7)

При постоянной силе тока дуги I и заданной температуре стенок трубки T_t это выражение связывает между собой три переменные величины T, R и E.

Чтобы получить еще одно независимое выражение, связывающее эти величины, проинтегрируем уравнение (6) в бестоковой зоне каналовой дуги, учитывая, что в этой зоне σ=0. Интегрирование показывает, что величина rJ(r) постоянна в этой зоне, что само по себе очевидно, кроме того, она равна:

rJ=IE/2π. (8)

Это следует из того, что электрическая мощность, выделяемая в канале, равна IE, поэтому тепловой поток на границе R равен IT/2π.
Замена в (8) величины потока J его явным выражением -λdT/dr приведет к нелинейному дифференциальному уравнению, но эту трудность удается обойти, путем введения функцию:

Θ =₀∫^Tλ(T)dT. (9)

Эта функция обладает тем свойством, что производная от нее, как легко видеть, равна тепловому потоку J, взятому с обратным знаком:

dΘ/dr = - J. (10)

Из сравнения выражений (8) и (10) вытекает легко интегрируемое дифференциальное уравнение:

dΘ/dr = - (IE/2π)r^-1. (11)

Интегрирование обеих частей этого выражения от R_t до R приводит к следующему уравнению, связывающему величины I, T и R:

Θ(T) - Θ(T_t)=(IE/2π)ln(R_t/R). (12)

Таким образом, мы имеем два уравнения (7) и (12), которые при заданной силе тока I и заданных условиях окружающей среды (T=T_t при r=R_t) связывают три переменные T, r и E. Исключая из этих выражений одну из переменных, например, переменную T, получим бесконечную последовательность режимов горения дуги выражаемую функциональной зависимостью E (r).

Чтобы из указанной последовательности режимов можно было выбрать тот, который фактически реализуется, используется допущение, известное как минимальный принцип Штеенбека. Согласно этому допущению при заданной силе тока и фиксированных условиях окружающей среды реализуется тот режим, при котором напряженность электрического поля минимальна. Другими словами при этом режиме производная

dE/dr = 0. (13)

Принцип Штеенбека был не раз проверен при исследовании дуговых разрядов. При этом были получены результаты, удивительно хорошо согласующиеся с экспериментом [4]. Однако вопрос обоснования этого принципа не перестает волновать исследователей до настоящего времени.

Подводя итоги, можно сказать, что каналовая модель позволяет рассчитать температуру и напряженность поля в дуге. Однако эти расчеты сложны, поэтому имеются расхождения между данными разных авторов. Ведь при расчете теплопроводности λ(Т) плазмы приходится учитывать большое количество процессов, поскольку она складывается из величин теплопроводности молекул (в случае молекулярных газов), атомов, ионов, электронов; кроме того, нужно учесть также вклад от диффузии энергий ионизации и диссоциации.
Учет всех этих процессов приводит к сложной зависимости теплопроводности плазмы λ(T) от температуры. На рис.1 представлена для иллюстрации типичная зависимость теплопроводности от температуры. Здесь же изображена функция Θ(Т). Видно, что за счет интегрирования эта функция существенно «глаже», чем функция теплопроводности. Ее приближенно можно аппроксимировать отрезком прямой линии.

Отметим в заключение раздела основные особенности классической каналовой модели дуги, следующие из приведенного краткого ее описания.

Во-первых, в этой модели токовый канал рассматривается как цилиндрический однородный бесструктурный омический нагреватель c погонной мощностью EI, имеющий температуру T.

Во-вторых, основную роль в ней играют процессы теплопроводности в газообразной фазе бестоковой зоны столба дуги.

В-третьих, из каналовой модели вытекают два соотношения, связывающие три неизвестные величины, характеризующие канал дуги: T, E, R, которые следует определить. Чтобы однозначно определить эти величины, требуется третье соотношение, связывающее эти величины. Однако непосредственно такое соотношение из классической модели не вытекает.

Поэтому для получения недостающего соотношения Штеенбеком был сформулирован принцип минимума, который непонятно как связан с каналовой моделью, но применение которого, тем не менее, приводит к хорошему согласию модельных вольтамперных характеристик канала дуг с экспериментальными.

Электрическая дуга является преобразователем электрической энергии в световую (излучательную) и тепловую. Для технических применений важно знать энергетические параметры дуги и, в первую очередь, величину поглощаемой ею электрической мощности. Поэтому одной из задач, которые следовало для этого решить, была, в частности, задача научиться рассчитывать вольт-амперную характеристику проводящего канала дуги. Техническая потребность в этом и привела к разработке классической модели каналовой дуги.