Для оценки различных ситуаций в сфере потребления применяются предельный спрос и предельная полезность денег по ценам ( и ) и доходу ( и ).
Их взаимосвязь определяется матричным уравнением:
(5.25) |
Это уравнение (5.26) называется основным матричным уравнением теории потребления.
Матрица называется матрицей сравнительной статики, а ее элементы - показателями сравнительной статики. Такое название объясняется тем, что эти показатели характеризуют чувствительность и к изменениям параметров и путем сравнения положения оптимума в статике до и после того, как эти параметры изменились.
Левая часть уравнения (5.25) есть невырожденная матрица (ибо такой является Якобиан), а значить уравнение может быть разрешено относительно показателей сравнительной статики. Решение этого уравнения связано с понятием уравнения Слуцкого.
Основное матричное уравнение (5.25) можно записать следующим образом:
(5.26) |
Решение этой системы относительно показателей сравнительной статики по спросу имеет вид:
|
|
(5.27) | |
(5.28) | |
(5.29) |
Здесь - обратная матрица Гессе (матрица Гессе - матрица вторых производных: ), а
скалярная величина. Можно показать, что
поэтому скаляр можно интерпретировать как коэффициент убывания предельной полезности денег.
Сравнивая (5.29) и (5.28) замечаем, что
Сопоставляя это уравнение с (5.27), получаем,
(5.30) |
Это равенство (5.30) называется уравнением Слуцкого. Это же уравнение называют основным уравнением теории ценности.
Уравнение Слуцкого, в частности, означает, что:
(5.31) |
Здесь производная называется влиянием на спрос (на j-й товар) изменения частной цены (цены j-го товара). Это равенство используют для характеристики типов товаров.
Определение. Товар вида j называется нормальным, если ; товаром Гиффина, если ; ценным, если ; малоценным, если . Два товара i и j являются взаимозаменяемыми, если взаимодополняемыми, если
Из (5.31) следует, что
С учетом условия приходим к следующим выводам:
а) если , то обязательно ;
б) если , то обязательно .
Отсюда, товар Гиффина не может быть ценным, т.е. он обязательно малоценный.
Выводы:
Для вычисления предельного спроса и предельной полезности денег по ценам и доходу (то есть показателей сравнительной статики), которые применяются для оценки различных ситуаций в сфере потребления, выводится основное матричное уравнение теории полезности. Решая это уравнение получаем соотношение для показателей сравнительной статики, называемое основным уравнением теории ценности (уравнение Слуцкого). Оно отражает хорошо известное в экономической теории разделение общего эффекта (воздействие цены на спрос) на эффект замещения и на эффект дохода. С помощью уравнения Слуцкого можно классифицировать товары, анализировать их свойства и получить полезные для практики потребления выводы.
|
|