Функция полезности как критерий оценки товаров

Отношение предпочтения является неудобным инструментом изучения потребительского выбора. Оно является качественной категорией и не приспособлено для проведения количественных исследований.

Нужен другой механизм, который, с одной стороны, был бы адекватен данному отношению предпочтения, то есть отражал бы все его основные свойства, с другой стороны, являлся бы численным индикатором отношения предпочтения.

Таким механизмом и является функция полезности. С функцией работать удобнее, чем с отношением предпочтения, хотя последнее имеет и определенные преимущества. Если отношение предпочтения отражает «склонность» или «желание» потребителя, то функция полезности отражает понятие «выгодности» товаров. Полезность понимается как мера благосостояния и как критерий правильности принимаемых решений. Источником полезности является потребление товара. Термин «полезность» менее индивидуален, чем термин «предпочтение». Действительно, труднее угадать, что человеку хочется, чем определить что ему полезней, так как факт «x полезнее y», в отличии от «x предпочтительнее y», можно оценить по числовой шкале.

Пусть в определено отношение предпочтения . Любая функция такая, что тогда и только тогда, когда , называется функцией полезности, соответствующей этому отношению предпочтения.

В терминах функции полезности отношение безразличия задается равенством .

Для любого «нормального» отношения предпочтения, можно построить, и даже целое семейство функций, представляющую его функцию полезности.

Различие этих функций касается различных «масштабов» измерения полезности и не является принципиальным.

Так как функция полезности должна быть адекватной отношению предпочтения, то для нее можно сформулировать свойства 1) и 2). Например, в терминах функции полезности свойство ненасыщаемости читается так:

1) для любых неравенство влечет неравенство и неравенства , влекут .

В случае ненасыщаемости функция u не достигает своего максимума на множестве : для любого найдется , который имеет большую полезность чем x.

Аналогом свойства 2) является вогнутость функции полезности:

2) для любых .

Преимущество функции полезности против отношения предпочтения состоит, в частности, в том, что для анализа потребительского выбора можно использовать мощный аппарат дифференцирования.

Пусть функция полезности дифференцируема и

(5.16)

Частная производная называется предельной полезностью товара вида i. Это есть полезность, получаемая от «дополнительной» доли товара вида i:

Неравенство можно интерпретировать так: для любого набора товаров возрастание потребления товара вида при постоянном уровне потребления других товаров приводит к увеличению полезности. Т.е. это условие ненасыщаемости, написанное для дифференцируемой функции полезности. Именно предельная полезность товара является определяющим цену товара фактором, так как при прочих фиксированных условиях спрос на товар определяется его полезностью.

Предположим теперь, что функция u дважды дифференцируема и выполнены условия:

(5.17)

Это неравенство говорит о том, что предельная полезность товара уменьшается по мере того, как продукт потребляется. Неравенства (5.16) и (5.17) отражают хорошо известный в экономической теории закон об убывающей предельной полезности (закон Госсена).

С понятием функции полезности неразрывно связано понятие кривых безразличия, имеющее широкое применение в математической теории потребления.

Кривой безразличия для данного набора товаров называется геометрическое место точек , которые находятся в отношении безразличия с этим набором , то есть множество .

Так как для всех точек из этого множества полезность одна и та же, то кривые безразличия задаются уравнениями , где - любая const. Таким образом, кривая безразличия математически представляется как линия уровня функции полезности. Поэтому для любой функции полезности существует бесконечное множество кривых безразличия (для разных const) и они заполняют все пространство , образуя так называемую карту безразличия.

Приведем примеры некоторых, наиболее часто применяемых функций полезности и виды их карт безразличия. Эти функции, как показала практика, при определенных условиях достаточно объективно отражают предпочтение потребительского выбора.

Функция полезности с полным взаимозамещением благ:

(5.18)

где коэффициент является числовой оценкой полезности от потребления единицы товара вида i. (функция (5.18) позволяет определить размер замещения одних товаров другими для того, чтобы полезность оставалась на неизменном уровне.)

Для построения кривых безразличия функции в из уравнения найдем

При постоянных и это есть семейство (по параметру ) параллельных прямых с углом наклона . Карта кривых безразличия функции приведена на рис. 5.4a.

Еще раз отметим, что функция

учитывает возможность компенсации уменьшения потребления одних товаров другими.

Функция полезности с полным взаимодополнением благ:

(5.19)

где - количество товара вида , приходящееся на единицу полезности. Для построения кривых безразличия функции в из уравнения найдем

Отсюда видно, что карту безразличия функции (5.19) составляют одна линия, проходящая через начало координат и два семейства (по параметру ) линий, параллельных осям координат (рис. 5.4b).

Функция (5.19) учитывает возможность дополнения одних товаров другими.

Неоклассическая функция полезности (функция Кобба-Дугласа):

где - фактор шкалы измерения полезности, . Для построения кривых безразличия функции в из уравнения найдем

то есть карту безразличия составляет семейство (по параметру c) гипербол, показанных на рис. 5.4c.

Еще несколько видов функции полезности.

Функция полезности замещающе-дополняющего типа:

где функции находятся из системы неравенств

Квадратичная функция полезности:

где , -транспонированный вектор , - отрицательно определенная -матрица.

Логарифмическая функция полезности (функция Бернулли):

где

Экспоненциальная функция полезности:

где

Отметим, что нельзя гарантировать пригодность известных функций для каждого конкретного случая. При моделировании задачи потребителя как раз самым уязвимым местом является функция полезности, адекватно отражающая предпочтения индивидуального потребителя. Поэтому часто требуется не выбрать, а построить для данной конкретной задачи свою функцию полезности. Один из методов приближенного построения функции полезности, использующей понятие предельной нормы замещения, мы рассмотрим чуть позже.

Наиболее общими для построения функций полезности являются методы регрессионного анализа, которые применимы при наличии подходящего статистического материала. Для выбранного вида функции полезности на основе этих данных оцениваются ее коэффициенты (параметры). Сложность метода зависит от класса функций (линейных, квадратичных, степенных и др.), в котором ищется функция полезности.