Частица в одномерной бесконечно глубокой яме

15. Частица в одномерной бесконечно глубокой яме

Рассмотрим поведение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины a с бесконечно высокими стенками. В интервале от 0 до а будем считать,что потенции.энергия=0,а вне этого интервала потенциальная энергия бесконечна.

(1)

Задача состоит в том,чтобы найти те,значения энегрии, которыми обладает частица,находящаяся в яме. Чтобы найти энергию частицы необходимо решить стационарное уравнение Шредингера

Ĥψ(x)=Eψ(x) (2); (Ť+Ŭ)ψ=Eψ (3); → Ťψ=Eψ (4) -(ℏ²/2m)*(d²ψ/dx²)=Eψ (5) Поскольку U вне интервала от 0 до а равна бесконечности, то частица, находящаяся в яме проникнуть сквозь стенки не может, т.е. функция вне интервала от 0 до а равна 0. Поскольку ф-ия явл-ся непрерывной, то в точках х=0 и х=а она должна обращаться в 0: ψ(0)=ψ(а)=0 (6)

Из соотношений 5 и 6 видно,что с матем.точки зрения наша задача состоит в решении дифференц.ур-ия второго порядка с заданными граничными условиями:

(5)↔ -(d²ψ/dx²)=(2Em/ℏ²)ψ (d²ψ/dx²)+k²ψ=0 (7)

Можно показать,что решение ур-ия 7 имеет сле.вид: ψ=Asin(kx)+Bcos(kx) (8), А и В-константы, которые находятся из граничных условий и условия нормировки.

Из 6 следует,что ψ(0)=0 (9); Подставляя (8) в (9),получим: ψ(0)= Asin(0)+Bcos(0)=В=0 (10)

(10) в (8): ψ(x)=Asin(kx) (11); Из (6) → ψ(а)=0 (12); Подставляя (11) в (12): ψ(а)=Аsin(ka)=0 Поскольку А - произвольная константа, она вообще говоря не равна 0 → sin(ka)=0 (13) ka=πn(14)→ k=(π/a)n (15). Подставляя 15 в 11, получаем: ψ(x)=Asin(πnx/a) (16).

Для того,чтобы найти константу А воспользуемся условием нормировки: ∫dxψ*ψ=1 (17)

Подставляя 16 в 17, получаем: A²∫sin²(πnx/a)dx=1, решая, получаем: A=√(2/a) (19)

Подставляя 19 в 16, получим: ψ(x)= (√(2/a))* sin(πnx/a) (20)

E2m/ℏ²=π²n²/a² → E=π²ℏ²n²/2ma²=(ℏ²/2m)*(π²/a²)*n² (21)

Из 21 следует,что энергия частицы, находящейся в основном(самом низшем) состоянии определяется так: E₁=(ℏ²/2m)*(π²/a²) (22). Из соотношения 22 следует,что энергия частицы,нах-ся в основном состоянии не равна 0.