Определения

Тема 7. Планирование эксперимента

Планирование эксперимента в широком смысле этого слова основа жизнедеятельности человека.

На первой стадии в результате мыслительной деятельности возникают идеи, замыслы, строятся гипотезы, взвешиваются различные варианты воплощения задуманного. (Рис.1).

На этой стадии происходит создание мысленной модели. Разработаны эффективные приёмы организации творческой деятельности: автоматизация рационализаторства и изобретательства (АРИЗ), используется метод мозгового штурма.

На второй стадии осуществляется экспериментальная проверка, воплощение идей в некий продукт. Экспериментальная проверка может осуществляться как на конечном продукте, так и на его уменьшенной или увеличенной физической модели.

Экспериментальной проверке предшествует собственно планирование эксперимента, которое включает следующие пункты:

1. Обоснование, понимание факта необходимости эксперимента.

2. Выбор факторов и уровней

3. Выбор переменной отклика для оптимизации

4. Выбор плана (числа реплик, способа рандомизации)

5. Собственно эксперимент

И, наконец, на третьей стадии происходит осмысление, оценка произведённого продукта, а с точки зрения планирования эксперимента происходит

6) анализ данных эксперимента

7) формулировка выводов и рекомендаций.

В результате обработки результатов деятельности снова возникают идеи усовершенствования сделанного и процесс циклически повторяется на более высоком уровне.

Таким образом, в широком смысле планирование эксперимента – один из самых древних и фундаментальных видов научной деятельности.

Заметим, что планирование эксперимента, не формализованное, не проводящееся в рамки научной дисциплины под названием “Планирование эксперимента”, имеет хаотический стиль. По оценкам эффективность такой деятельности низка. Научный эксперимент в рамках хаотического планирования имеет коэффициент полезного действия порядка 2%.

Основная цель планирования эксперимента это поиск наилучшего, оптимального в некотором смысле решения.

Формализация цели планирования выражается в виде некоторой функции, которую называют целевой функцией.

Построение целевой функции наиболее ответственный и наиболее трудный момент всего процесса планирования. Когда она построена, то действует строгий математический алгоритм поиска экстремума.

При построении же самой функции требуется широкая научно-техническая осведомлённость в данной области. Так, например, при проектировании оптического прибора для составления целевой функции необходимо принимать во внимание технические, технологические, технико-экономические, экологические, эстетические и многие другие аспекты, связанные с использованием прибора.

Планирование эксперимента как научная дисциплина сравнительно молодая и развивающаяся область прикладной математики. Её возникновение связывают с именем английского статистика Рональда Фишера, показавшего в конце двадцатых годов прошлого века целесообразность варьирования многими факторами при проведении эксперимента в противовес однофакторному эксперименту.

Определение 1

Эксперимент - (от латинского experimentum – проба, опыт).

В словаре Иностранных Слов даётся такое определение: эксперимент - научно поставленный опыт, наблюдение исследуемого явления в точно учитываемых условиях, позволяющих следить за ходом явления и воссоздавать его каждый раз при повторении этих условий.

В Энциклопедическом Словаре эксперимент определяется как чувственно-предметная деятельность в науке. Согласно этому определению, например, написание научной статьи или просмотр научного журнала – уже эксперимент.

Второе определение более широкое. Первое – более подходит к существу дисциплины “Планирование эксперимента”.

Именно свойство воссоздания - воспроизводимости эксперимента лежит в основе алгоритма планирования.

Техника планирования: на каждом шаге ставится небольшая серия опытов, в каждом из которых варьируются по определённым правилам все факторы. Математическая обработка результатов эксперимента позволяет выработать условия проведения следующей серии опытов, направленных к достижению оптимума.

В этом суть метода Бокса-Уилсона или метода крутого восхождения (1951 г.). Мы будем изучать только этот частный случай планирования эксперимента.

Эксперимент может быть физическим и модельным.

Физический эксперимент - это реальный эксперимент на оборудовании с вещественными материалами. Это наиболее трудоёмкий, энергоёмкий и дорогой вид деятельности. Планирование эксперимента зарождалось и развивалось применительно именно к таким областям деятельности как металлургия, химическая промышленность, пищевая промышленность, транспорт.

Модельный эксперимент может быть трёх типов.

- Он может быть физическим. В этом случае модель может отличаться от объекта масштабом и, может быть, природой,

- модель может быть абстрактной психологической, неформализованной на уровне логического мышления. Это самая изящная модель.

- модель может быть формализованной математической.

Чтобы, экспериментируя на абстрактной модели, получать правильные сведения об объекте исследования нужно построить достаточно точную модель. А поскольку принципиально невозможно точно описать все возможные внешние влияющие факторы на процесс функционирования объекта исследования, то модель описывается вероятностно, статистически.

В основном планирование эксперимента применяется в областях, где без физического моделирования не обойтись: в химической, пищевой промышленности, металлургии и т. п. Непосредственных примеров использования аппарата планирования эксперимента в оптическом приборостроении нет. Элементы планирования используются в системах автоматического проектирования оптики (САПР). Известны такие системы компъютерного расчёта оптики как ОПАЛ, САРО, зарубежные ZEMAX. В этих пакетах в режиме оптимизации происходит подгонка параметров системы к состоянию, поставляющему экстремум целевой функции, в результате которой чаще всего используют аберрационную функцию Зейделя.

Для инженера-оптика планирование эксперимента может служить основой для автоматизированного проектирования оптических приборов. Для этого необходимо наличие математического описания объекта проектирования, или математической модели, положенной в основу компъютерной модели на подходящем языке программирования.

Такая модель должна отражать функциональное взаимодействие элементов и их соединений, пространственные связи и расположение. Оптик-конструктор имеет дело с абстрактной моделью создаваемого или модернизируемого им оптического прибора.

Применение планирования эксперимента, несомненно, организует и оптимизирует деятельность экспериментатора.

Кроме основной задачи – получение оптимального решения, для оптика-конструктора – получение оптимального проекта прибора, планирование эксперимента позволяет решить следующие задачи:

- поиск оптимальных условий,

- построение интерполяционных формул,

- выбор существенных факторов,

- оценка и уточнение констант теоретических моделей,

- выбор приемлемой гипотезы о механизме явления и др.

Эксперимент, который ставится для решения задач оптимизации, называется экстремальным, поскольку связан с поиском экстремума некоторой функции.

Какой эксперимент будет экстремальным?

1. Измеряется величина и погрешность показателя преломления призмы на гониометре методом наименьшего отклонения.
2. Определяется связь между углами падения и выхода лучей из призмы на гониометре, обеспечивающая минимальное отклонение.

Эксперимент №1 называют интерполяционным, а 2 – экстремальным.

Определение 2

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Особенности планирования эксперимента:

- стремление к минимизации общего числа опытов,

- одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам – алгоритмам.

- выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.

Объект исследования. Для конструктора объект исследования – это созданная им абстрактная модель конструируемого прибора, все функциональные связи между элементами которого описаны, то есть известны. С точки зрения процедуры планирования эксперимента:

Определение 3

Объект исследования – это “черный ящик” с конечным числом входов и выходов.

Рис.1. Схема “черного ящика”.

Определение 4

Входы “чёрного ящика” называют факторами, выходы откликами.

Каждый отклик есть функция k-переменных – факторов

Функция f называется функцией отклика. Это может быть детерминированная или статистическая функция в зависимости от свойств объекта исследования.

Объект может быть описан либо непосредственно совокупностью функций отклика, либо системой уравнений: линейных, нелинейных, дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных. При этом функции отклика могут в явном виде и не существовать, но в любом случае модель объекта должна содержать явно или неявно непустое множество решений в виде функций отклика.

Определение 5.

Количественная характеристика функции отклика, выбранная в качестве цели экстремального эксперимента называется параметром оптимизации

Условия проведения эксперимента предполагают, что значения факторов выбраны. И эксперимент заключается в определении значений функций отклика.

Фактор может иметь непрерывную или дискретную область изменения. Однако ввиду ограниченной точности представления непрерывного фактора он может быть описан с помощью дискретного набора уровней. Это соглашение существенно облегчает построение эксперимента и упрощает оценку его сложности.

Сложность эксперимента определяется числом всевозможных состояний “чёрного ящика”. Например, если для всех k-факторов существует р уровней, то число состояний будет р^к. Так для система с 5 факторами на 5 уровнях имеет 3125 состояний, а 4¹⁰=1049000 – 10 факторов на 4-х уровнях.

Прямой перебор ввиду огромного числа состояний нерационален, если невозможен, поэтому прибегают к процедуре планирования эксперимента.

И, наконец, объект исследования должен обладать рядом свойств, чтобы к нему была применима процедура планирования эксперимента в данном изложении.

1). Как уже упоминалось, свойства объекта должны быть воспроизводимы. То есть, если эксперимент проведен в некоторых условиях, при выбранных уровнях факторов, то повторное проведение эксперимента через неравные промежутки времени не должны существенно с заданной точностью отличаться друг от друга. Разброс значений откликов не должен превышать точности эксперимента.

2) Объект должен позволять активное вмешательство в процесс выбора уровней факторов. Такой объект называется управляемым, а эксперимент – активным.

Неуправляемые факторы влияют на воспроизводимость и являются причиной её нарушения. Реально не существует абсолютно управляемых объектов. Планирование носит вероятностный характер. Если погрешность воспроизводимости велика, то обращаются к иному виду планирования: активно-пассивному эксперименту. Мы не будем его рассматривать, и будем изучать только активный эксперимент.

Иногда фактор не остаётся постоянным во времени. В этом случае также обращаются к другим видам планирования. Эксперимент может быть чисто пассивным, тогда за ним только наблюдают.

И так, мы изучаем экстремальный эксперимент, который определим как

Определение 6

Экстремальный эксперимент – метод выбора минимального количества опытов, необходимых для отыскания оптимальных условий.

Параметр оптимизации является откликом, реакцией на воздействие факторов, которые определяют поведение исследуемой, проектируемой системы. Отклики системы лежат в многих аспектах, количественное выражение которых не всегда однозначно. Различные исследователи часто имеют сильно отличающиеся представления об оптимальности того или иного аспекта. Не по всем параметрам оптимизации существуют унифицированные рекомендации, и поэтому выбор критериев оптимизации часто является искусством.

Среди параметров оптимизации необходимо выбрать один параметр, по которому ищется оптимум. Все остальные параметры при этом служат уже в качестве ограничений. Здесь также возможно множество путей постановки задачи оптимизации.

Существуют различные подходы к классификации параметра оптимизации. В данном случае для оптика-конструктора представляется удобным увязать параметр оптимизации с параметрами качества, обеспечиваемыми при конструировании [2].

В соответствии с ГОСТ 22851-77, ГОСТ 15476-79 вводится

Определение 7

Качество прибора [4] – совокупность свойств, обуславливающих его пригодность удовлетворять определённые потребности в соответствии с его назначением, указанным в технических условиях.

Для объективной оценки качества прибора его свойства характеризуют количественно показателями качества, разделёнными на группы

1. Показатели назначения: область применения, производительность, точность, светосила, разрешающая способность, дальность действия и другие технические характеристики прибора. Это наиболее многочисленная группа, которая в свою очередь подразделяется на общие показатели назначения (точность функционирования, качество изображения) и частные, например, параллельность визирных осей бинокулярных приборов, увеличение микроскопа, светосила фотографического прибора и т.п.
2. Экономические показатели. Прибыль, себестоимость и рентабельность. Здесь следует включать и затраты на проведение самого эксперимента.
3. Показатели надёжности характеризуют безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость прибора. Формирование этих показателей связаны с длительными наблюдениями.
4. Показатели технологичности характеризуют степень соответствия прибора и его элементов оптимальным условиям современного производства.
5. Эргономические показатели позволяют оценивать степень приспособленности прибора к взаимодействию с человеком с точки зрения удобства, гигиены и безопасности труда. Параметром оптимизации может служить, например, число ошибочных действий оператора с прибором, полученное также в результате длительных наблюдений.
6. Эстетические показатели. Внешний вид, соответствие формы его назначению и т.д.

Построение эстетического параметра оптимизации основано на ранговом подходе. Строится соответствующая шкала рангов.

1. Показатели стандартизации и унификации характеризуют степень использования в приборе стандартизованных и унифицированных узлов и деталей.
2. Патентно-правовые показатели характеризуют патентоспособность и патентную чистоту схемных и конструктивных решений прибора.

В реальных ситуациях обычно требуется учитывать одновременно несколько параметров оптимизации или все сразу. Движение к оптимуму возможно, если выбран только один параметр оптимизации. Здесь существует две возможности построения процесса оптимизации.

- Первая: выбирается один параметр, а прочие характеристики уже не выступают в качестве параметров оптимизации, а служат ограничениями.

- Вторая: построение обобщённого параметра оптимизации, учитывающего одновременно все показатели качества.

Требования к параметру оптимизации.

1. Он должен быть количественным, задаваться числом. Множество значений, которое может принимать параметр оптимизации, называется его областью определения. Область определения может быть дискретной и непрерывной, ограниченной и неограниченной.

Например, качество изображения – параметр оптимизации, оцениваемое с помощью разрешения имеет непрерывную ограниченную область определения, оцениваемое по количеству информации имеет дискретную ограниченную область определения, оцениваемое энергетически имеет неограниченную непрерывную область определения.

1. Параметр оптимизации нужно уметь измерять, то есть располагать подходящим прибором для прямого измерения или располагать методикой косвенных измерений. Но если такой прибор не существует или слишком дорог, то прибегают к приёму, называемому ранжированием или ранговым подходом. При этом параметрам оптимизации присваиваются оценки – ранги по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной и т.д. В простейшем случае область может содержать два значения: да – нет, годная продукция – брак. Ранг – это количественная, но субъективная оценка. Такая оценка не позволяет изучить тонкие эффекты.

Примером рангового подхода может служить судейство в фигурном катании или гимнастике. Ранговый подход используется при определении твёрдости материала по заданной шкале твёрдостей, например, Монса.

1. Параметр оптимизации должен удовлетворять требованию однозначности в статистическом смысле. Заданному набору значений факторов должно соответствовать одно с точностью до ошибки эксперимента значение параметра оптимизации. Обратное, очевидно, неверно одному и тому же значению параметра оптимизации могут соответствовать разные наборы факторов.
2. Параметр оптимизации должен удовлетворять условию корректности, то есть он должен действительно оценивать эффективность функционирования системы в заранее выбранном смысле.

Например, некорректно использовать в качестве параметра оптимизации величину хроматизма применительно к зеркальной оптике или сравнивать приборы по разрешению в дифракционной области.

1. Параметр оптимизации должен подчиняться принципу “коллективизма”, он не должен возводиться в ранг абсолюта. Он должен быть эффективным с точки зрения достижения конечной цели. Эффективность системы оценивается всегда в целом. Часто система состоит из подсистем, каждая из которых оценивается своим локальным параметром оптимизации. При этом оптимальность каждой из подсистемы не исключает возможности гибели системы в целом.

Из качественного фотографического объектива и окуляра хорошего микроскопа

не получить.

1. Параметр оптимизации должен быть эффективен в статистическом смысле. Из нескольких параметров оптимизации наиболее эффективен тот, который определяется с возможной наибольшей точностью. Если эта точность недостаточна, приходится обращаться к увеличению числа опытов.

Качество фокусировки изображения может оцениваться или путём измерения величины размытости точечного изображения, или путём измерения величины продольного смещения изображения. Точность измерения продольного смещения выше, поэтому оптимизация фокусировки с помощью продольного смещения эффективнее в статистическом смысле.

1. Параметр оптимизации должен удовлетворять требованию универсальности или полноты. Под универсальностью параметра оптимизации понимается его способность всесторонне характеризовать объект.

Например, технологические параметры в общем смысле не учитывают

экономику. Этот недостаток устраняется подразделением области определения технологических параметров оптимизации по квалитетам, определяемым по ранговому принципу: десятибалльной системе с учётом уровня производства. В свою очередь технологические допуски разделяются по трём уровням точности:

- экономический уровень – 9-10 квалитет,

- производственный уровень - 6-8 квалитет,

- технический уровень – 4-5 квалитет.

8. Желательно, чтобы параметр оптимизации имел физический смысл, был простым и

легко вычисляемым.

Так, например, оперировать с СКО, чем с дисперсией физически понятнее, так как СКО имеет размерность измеряемой величины.

Для простоты целесообразно нормировать параметр оптимизации с тем, чтобы он принимал значения от нуля до единицы.

Выбрать параметр оптимизации, удовлетворяющий всем требованиям практически невозможно. Требования чаще используются для сравнения нескольких возможных параметров оптимизации и выбора, наиболее отвечающего данным требованиям.