Моменты инерции простых сечений

Главные оси инерции и главные моменты инерции

Изменение моментов инерции сечения при повороте осей

Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей y, z и моментами инерции относительно осей y₁, z₁, повернутых на угол a. Пусть J_y > J_z и положительный угол a отсчитывается от оси y против часовой стрелки. Пусть координаты точки М до поворота – y, z, после поворота – y₁, z₁ (рис. 2.4).

Из рисунка следует:

;.

Теперь определим моменты инерции относительно осей y₁ и z₁:

,

или

. (2.13)

Аналогично:

. (2.14)

Рис. 2.4

M

z

z1

y1

y

a

y

y1

z1

z

(2.15)

Сложив почленно уравнения (2.13) и (2.14), получим:

т.е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей остается постоянной и не изменяется при повороте системы координат.

С изменением угла поворота осей a каждая из величин и меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое значение

a = a₀, при котором моменты инерции достигают экстремальных значений, т.е. один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время другой момент инерции принимает минимальное значение. Для нахождения значения a₀ возьмем первую производную от (или) и приравняем ее нулю:

,

или,

откуда

. (2.16)

Покажем, что относительно полученных осей центробежный момент инерции равен нулю. Для этого приравняем правую часть уравнения (2.15) нулю:

,

откуда, т.е. получили ту же формулу для a₀.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Обозначим главные оси через y ₀ и z₀. Тогда

,

, (2.17)

.

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда является одной из главных центральных осей инерции сечения.

2.4.1 Прямоугольник

Определим момент инерции сечения относительно оси y₀, проходящей через центр тяжести прямоугольника высотой h и шириной b параллельно основанию (рис. 2.5). Выделим из прямоугольника линиями, параллельными оси y элементарную полоску высотой dz и шириной b. Площадь этой полоски dA=b×dz, расстояние от полоски до оси y равно z. Подставим эти величины в выражение момента инерции относительно оси y (2.6):

Рис. 2.5 Рис.4.3

y

z

z

dz

h

b

C

_.

. (2.18)

Аналогично, получим:

. (2.19)

Очевидно, что,

.

2.4.2 Треугольник

Рис. 2.6

b

h

dz1

z1

y1

z1

b1

Определим момент инерции треугольника относительно оси у₁, проходящей через основание (рис.2.6)

.

Элементарная площадка.

Из подобия треугольников получаем:

,

где b – основание треугольника, h – его высота.

Таким образом,

.

Расстояние от основания треугольника до центра тяжести равно, поэтому, используя правила переноса, находим момент инерции относительно центральной оси у, параллельной основанию

.

2.4.3 Круг

Определим сначала полярный момент инерции относительно центра круга (рис.2.7). За dA примем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной dr, расположенного на расстоянии r от центра круга dA = 2prdr.

Тогда

Рис. 2.7

r

dr

R

z

y

(2.20)

Теперь определим осевые моменты инерции. Очевидно, что в силу симметрии; но

.

Откуда. (2.21)

2.4.4 Кольцо

Определим моменты инерции кольца, у которого R - наружный радиус, r - внутренний радиус (рис. 2.8). Интегрируя полученное ранее выражение для полярного момента инерции в пределах от r до R, получим

Рис. 2.8

r

dr

R

r

z

y

Это выражение может быть представлено в виде

, (2.22)

где.

Соответственно

. (2.23)

Момент инерции сечения сложной формы относительно некоторой оси равен сумме моментов инерций его составных частей относительно той же оси:

, (2.24)

что непосредственно следует из свойств определенного интеграла.

Таким образом, для вычисления момента инерции сложной фигуры надо разбить ее на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур, а затем просуммировать их.

Нашей промышленностью выпускаются стандартные прокатные профили (двутавр, швеллер, уголок равнобокий, уголок неравнобокий), которые могут быть использованы как готовые элементы конструкций (балки, стойки, элементы ферм и т.д.). Размеры прокатных профилей стандартизированы и сведены в таблицы сортаментов прокатной стали, которые приводятся в приложениях почти всех учебников и сборников задач по сопротивлению материалов. В этих таблицах приводятся все размеры сечений и основные геометрические характеристики прокатных профилей в соответствии с их номером.