Плоское напряженное состояние

Линейное напряженное состояние

Линейным или одноосным называется напряженное состояние, при котором два из трех главных напряжений равны нулю (рис.4.6).

Примером линейного напряженного состояния может служить осевое растяжение-сжатие.

Рассмотрим задачу определения напряжений в площадке общего положения. Угол наклона этой площадки α будем отмерять от направления s₁ до нормали к площадке. Примем, что положительный угол α откладывается против хода часовой стрелки, а отрицательный по ходу часовой стрелки. Направим ось х вдоль нормали, ось у – перпендикулярно ей. Расчетная схема для определения напряжений s _x и t _ху представлена на рис. 4.7. Получим:

Рис. 4.6 Рис. 4.7

,

где - площадь наклонной площадки;

- площадь поперечного сечения, перпендикулярного к s₁;

- полное напряжение, действующее по наклонной площадке.

Учитывая, что, получим:

.

Раскладывая p_a на направление осей х и у, получим

,

Рассмотрим площадку b, перпендикулярную площадке a, угол.

Направим ось y по нормали к этой площадке. Нормальные напряжения, действующие по этой площадке равны

.

Складывая s_х и s_у, получим s_x + s_y = s₁ = const,т.е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам величина постоянная и равна главному напряжению.

Касательные напряжения, действующие по наклонной площадке b

,

т.е. справедлив закон парности касательных напряжений.

Нормальные напряжения s_x по наклонной площадке a достигают максимального значения при a = 0, т.е. в поперечном сечении.

Касательные напряжения τ_xy по наклонной площадке a достигают максимального значения при a = ± 45⁰.

Плоским или двухосным называется напряженное состояние, при котором одно из трех главных напряжений равно нулю (рис.4.8).

s1

s1

s2

s2

Рис. 4.8

Рассмотрим задачу определения напряжений в площадке общего положения (прямая задача).

.Определим напряжения s_x и t_xy, действующие по любой наклонной площадке a по известным главным напряжениям s₁и s₂, т.е. решим так называемую прямую задачу теории напряженного состояния.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом независимости действия сил. Представим плоское напряженное состояние в виде суммы двух независимых линейных напряженных состояний: первое – при действии только напряжений s₁, второе – при действии только напряжений s₂(рис.4.9).

s1

s1

Рис. 4.9

a

s2

s1

s1

s2

a

s2

s2

a

b

sx1

txy1

sx2

txy2

sx

txy

От каждого из напряжений s₁, s₂ напряжения s_x1, s_x2 и t_xy1, t_xy2 в произвольной площадке равны

;;

;.

Таким образом, суммируя напряжения, возникшие при каждом линейном напряженном состоянии, получим

(4.1)

.

Если рассмотреть площадку с углом наклона, перпендикулярную к площадке a, то можно доказать как и для линейного напряженного состояния, что

(4.2)

Суммируя нормальные напряжения, действующие по взаимно перпендикулярным произвольным площадкам, получим

.

Сравнивая величины касательных напряжений, получим

.

Наибольшие касательные напряжения действуют по площадкам, наклоненным к главным под углом a = 45^о

.

Рассмотрим частные случаи плоского напряженного состояния:

а) Всестороннее растяжение.

Напряженное состояние, при котором главные напряжения, действующие по граням параллелепипеда равны между собой s₁ = s₂ = s называется всесторонним растяжением. В этом случае, получим

,

,

,,

то есть, нормальные напряжения в любой произвольной площадке равны между собой s₁ = s₂ = s _х = s_у = s, а касательные напряжения равны нулю:,.

б) Чистый сдвиг.

Пусть по граням параллелепипеда действуют главные напряжения,, (рис. 4.10). Определим величины нормальных и касательных напряжений, действующих в площадках, повернутых под углом 45^о к главным. Из формул (4.1) получим, что

, _,

,.

Напряженное состояние, при котором по граням выделенного элемента действуют только касательные напряжения, называется чистым сдвигом, а площадки - площадками чистого сдвига.

s2= s

s

s

s1=s

tyx=-s

tyx

txy= s

txy

Рис. 4.10

txy

txy

tyx

tyx

g

Рис. 4.11

Экспериментально установлено, что существует линейная зависимость между углом сдвига g и касательными напряжениями t (рис. 4.11), являющаяся законом Гука при сдвиге

,

где G – модуль сдвига, характеризующий способность материала сопротив-

ляться сдвиговой деформации, т.е. характеризующая жесткость матери-

ала при сдвиге.

Величина модуля сдвига связана с модулем упругости при растяжении Е и коэффициентом Пуассона ν соотношением

.

Рассмотрим задачу определения главных напряжений s₁ и s₂, а также положения главных площадок (угол a₀) по известным напряжениям s _х, s _у, t _ху, действующим по двум взаимно перпендикулярным площадкам (обратная задача).

Пусть для определенности положим s _х > s _у. Из формул (4.1) и (4.2), можно получить

,

. (4.3)

Исключив из этих формул s₁ и s₂, получим формулу для определения угла наклона главных площадок относительно заданной площадки. Обозначим этот угол a₀. Так как направление отсчета углов a для площадки произвольного положения и угла a₀ противоположны, то в полученной формуле необходимо изменить знак. Положительный угол a₀ будем откладывать от направления внешней нормали к площадке, по которой действуют большие нормальные напряжения s _х против хода часовой стрелки.

.

Откуда

.

Для определения и возведем каждое из соотношений (4.3) в квадрат и сложим их:

,

тогда

,

а так как, то из двух последних соотношений получим:

,

. (4.4)

Большее главное напряжение s₁ действует на площадке с углом наклона a₀, вторая же главная площадка с напряжением s₂ ей перпендикулярна и ее нормаль наклонена под углом к направлению s _х. Положение главных площадок и направления главных напряжений представлены на рис. 4.12.

a0

sx

s1

txy

sy

tyx

s2

sx

txy

tyx

sy

Рис. 4.12

Главные напряжения обладают свойствами экстремальности, т.е. s₁ наибольшее, а s₂ наименьшее при любом положении секущей пары взаимно перпендикулярных плоскостей.