Понятие БП и его организационно-правовые основы

1 2

Задачи для самостоятельного решения.

Формула Ньютона-Лейбница.

Волгодонск

Интегралы с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница».

Лекция № 13

2011
Интеграл с переменным верхним пределом и его производная.

Интегралом с переменным верхним пределом называется .

Теорема: Если функция y=f(x) непрерывна, то = f(x).

Возьмем точку x и вычислим в ней значение функции J(x) =. Дадим x приращение Dx и вычислим значение функции.

I(x+Dx) = ₌.

Функция I(x) получает приращение DI=I(x+Dx) – I(x)=

По теореме о среднем значении существует точка CÎ(x,x+Dx), такая что =. Рассмотрим предел,

т.к. при.

Из теоремы следует, что интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных подынтегральной функции.

У каждой непрерывной функции имеется первообразная (а значит, и неопределенный интеграл).

где F(x) -одна из первообразных f(x).

Рассмотрим, он является одной из первообразных f(x), т.е., где C₀ – конкретное значение const. Найдем C₀. Подставим вместо верхнего предела x=a Þ Þ C₀=-F(a) Þ. Подставим вместо верхнего предела x=b Þ

Формула позволяет вычислять определенный интеграл.

Формула Ньютона-Лейбница дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции. Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог получить то значение в математике, какое он имеет в настоящее время. Хотя с процессом, аналогичным вычислению определенного интеграла как предела интегральной суммы, были знакомы еще в древности (Архимед), однако приложения этого метода ограничивались теми простейшими случаями, когда предел интегральной суммы мог быть вычислен непосредственно. Формула Ньютона-Лейбница значительно расширила область применения определенного интеграла, так как математика получила общий метод для решения различных задач частного вида и поэтому смогла значительно расширить круг приложений определенного интеграла к технике, механике, астрономии и т.д.

Пример: = = =

= = =

= =.

Вопросы для самоконтроля:

1.Формула Ньютона-Лейбница.

2.Теорема об интеграле с переменным верхним пределом.

1.Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы:

1., 2., 3., 4., 5., 6., 7..

Решение типовых задач:

Пример 1. Вычислить интеграл.

Решение:.

Пример 2..