Форма представления чисел с плавающей точкой

Эта форма (нормальная или полулогарифмическая) позволяет представлять в компьютере любые (целые, дробные или смешанные) числа. Число в форме с плавающей точкой записывается в виде двух частей: мантиссы и порядка. Мантисса включает в себя значащие разряды числа, а порядок указывает положение точки. При этом мантисса записы­вается как дробное число с фиксированной точкой, а порядок – как целое число с фиксированной точкой.

Знак мантиссы является знаком всего числа, а знак порядка определяет, содержит ли число целую часть.

Значение числа с плавающей точкой определяется следующим образом:

,

где т – мантисса числа; q – основание системы счисления; р – порядок числа.

Так, в десятичной системе счисления число A ₁₀ = -123,456 в форме с плавающей точкой может быть записано следующим образом:

т.д.

При заданных значениях мантиссы и порядка для определения значения числа нужно точку (запятую) в мантиссе перенести на количество разрядов, равное величине порядка, вправо для положительных порядков и влево для отрицательных. Например:

;

.

Число с плавающей точкой может быть нормализованным и ненормализованным. Число не нормализовано, если старшая цифра мантиссы равна нулю, т.е.. Нормализованное число с плавающей точкой позволяет со­хранить большее количество значащих цифр, поэтому в памяти числа хранятся в нормализованном виде. Нормализация выполняется путем сдвига мантиссы влево до тех пор, пока старший разряд мантиссы не станет равным единице. Так как значение мантиссы при этом увеличивается, для сохранения величины числа при сдвиге на каждый разряд значение порядка уменьшается на единицу.

Нормализованное число с плавающей точкой представляется с точностью, где п – разрядность мантиссы. Диапазон чисел с плавающей точкой составляет:

,

где k — разрядность порядка.

Для увеличения диапазона чисел с плавающей точкой (за счет некоторого уменьшения точности) двоичная мантисса может рассматриваться как шестнадцатеричное число. В этом случае каждая двоичная тетрада представляет одну шестнадцатеричную цифру, поэтому нормализация будет нарушена лишь тогда, когда четыре старших разряда мантиссы будут равны нулю. Например, если старшие разряды мантиссы имеют вид 0, 000101..., то мантисса считается нормализованной, так как тетрада 0001 представляет шестнадцатеричную цифру 1. Появление незначащих нулей в мантиссе приводит к потере точности. Вместе с тем существенно увеличивается диапазон представления чисел:

.

Порядок числа может быть положительным или отрицатель­ным. Для упрощения операций над порядками часто используют смещенный порядок путем увеличения действительного порядка на величину , где k – число разрядов порядка. При этом смещенный порядок всегда является положительным числом и поэтому его знак не указывается. Пример формата n -разрядного числа с плавающей точкой и смещенным порядком представлен на рис. 2.6. Для знака числа отводится старший разряд, k разрядов занимает смещенный порядок, а остальные п - k - 1 выделяются под мантиссу. Диапазон и точность представляемых в форме с плавающей точкой чисел зависят от формата.

Рис. 2.6. Формат числа с плавающей точкой

Рекомендуемые стандартом основные форматы чисел с плавающей точкой представлены на рис. 2.7. Одинарный формат занимает 32 разряда, двойной – 64. Обычно для повышения точности используют способ скрытой единицы.

Рис. 2.7. Основные форматы чисел с плавающей точкой:

а – одинарный; б – двойной

Суть способа заключается в том, что в нормализованном числе старший разряд мантиссы всегда равен единице, поэтому его можно не записывать, а подразумевать. Освободившийся разряд используется для записи дополнительного разряда мантиссы. Перед выполнением арифметических операций подразумеваемый разряд восстанавливается.

В одинарном формате под смещенный порядок отводится восемь разрядов, и под мантиссу – 24 (с учетом скрытой единицы). При этом диапазон представления чисел составляет: . В двойном формате смещенный порядок занимает 11 разрядов, мантисса – 53, а диапазон представления чисел составля­ет: .

Как и целые числа, числа с плавающей точкой могут быть записаны в упако­ванном формате. В микропроцессорах фирмы Intel четыре числа одинарной точности (по 32 разряда) упаковываются в группу длиной 128 разрядов. В такую же группу упаковываются два числа двой­ной точности (по 64 разряда).