В компьютере может храниться и обрабатываться информация различного характера: числа, адреса, команды, различные символы, графические изображения и т.д. Любая информация в компьютере представляется в числовой форме, при этом используются различные системы счисления.
Под системой счисления понимается способ представления чисел с помощью символов (цифр), имеющих определенное количественное значение. В любой системе счисления числа представляются в виде последовательности цифр.
В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения в записи числа. Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить римская система счисления. В основе римской системы счисления лежат знаки I для числа 1, V для числа 5, X для 10, L для 50, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum – сто, Demimille – половина тысячи, Мille – тысяча).
Чтобы записать число его надо разложить на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:
|
|
XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 (три десятка, пяток, три единицы).
В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее места в числе. В позиционных системах счисления каждая цифра имеет вес. Обычно вес старшей цифры по отношению к весу соседней младшей цифры больше в количество раз, равное основанию системы счисления. При этом для целых чисел вес младшего разряда в любой системе счисления равен единице.
Основные достоинства любой позиционной системы счисления – простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество цифр, необходимых для записи любых чисел. Примером позиционной системы счисления служит десятичная система счисления, которой мы широко пользуемся.
В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем виде:
или
,
здесь – само число,
q – основание системы счисления,
– цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,
n – число целых разрядов числа,
m – число дробных разрядов числа.
Так десятичное число А 10 = 4718,63 в развернутой форме запишется так:
А 10 = 4 · 103 + 7 ·102 + 1 ·101 + 8 · 100 + 6 · 10-1 + 3 · 10-2
В современных компьютерах используются позиционные системы счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16. В табл. 2.1 приведены возможные способы изображения первых 16 чисел во всех четырех системах счисления.
Двоичная система счисления.
Основание системы счисления q = 2.
Алфавит: 0, 1.
В этом случае формула принимает вид:
|
|
Таблица 2.1
Двоичные числа D 2 | Восьмеричные числа D 8 | Десятичные числа D 10 | Шестнадцатеричные числа D 16 |
А | |||
В | |||
С | |||
D | |||
Е | |||
F |
здесь – возможные цифры (0, 1).
Записав двоичное число А2 = 1001,1 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:
Восьмеричная система счисления.
Основание: q = 8.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Записав восьмеричное число А8=7764,1 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:
Шестнадцатеричная система счисления.
Основание: q = 16.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,1, …9. Для записи остальных цифр (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита. Таким образом, запись 3АF16 означает:
.
При хранении и обработке информации внутри компьютера используется двоичная система счисления. Это объясняется необходимостью физического представления только двух цифр (0 и 1), простотой выполнения арифметических операций и возможностью осуществления любых преобразований информации с помощью двоичных логических элементов.
Шестнадцатеричная (и реже восьмеричная) система счисления используется для более компактного представления информации (по сравнению с двоичной системой) при вводе и выводе больших массивов двоичных данных. Это связано с простотой перехода от двоичной системы счисления к шестнадцатеричной (восьмеричной) и наоборот.