2014-02-02
1705
Приложения формул Тейлора и Маклорена.
Формулы Тейлора и Маклорена имеют широчайшее применение, как для приближенного вычисления значений целого ряда табулированных функций таких, например, как 
, 
,
и др., так и для замены сложных функций при решении практических задач многочленами.
В качестве примера приложения формулы Маклорена, определим количество членов в разложении функции по указанной формуле для вычисления ее значения с точностью до 0.001 при любом x из промежутка
[-1,1].
Поскольку 
, то в остаточном члене 
величина 
удовлетворяет неравенству: 
. Следовательно,
.
Очевидно, что если мы заменим на промежутке [-1,1] функцию соответствующим многочленом Тейлора, то значения этого многочлена на указанном промежутке будут отличаться от соответствующих значений функции на величину меньшую, чем 
. Выбирая n из условия <0.001, мы получим, что 
, поскольку (
).
Отметим, что формул Тейлора может использоваться и при вычислении пределов.
Вопросы для самоконтроля.
1. Написать формулы Тейлора и Маклорена для случаев n=2, n=3 и n=5.
|
|
|
Задачи для самоконтроля.
1. Разложить по формуле Тейлора функцию 
в точке 
для случая n=4.
2. Разложить по степеням 
многочлен 
.
3. Написать формулу Тейлора для функции 
при 
и 
.
Решение типовых задач.
Задача 1. Воспользовавшись формулой Тейлора, разложить функцию 
по степеням бинома 
до четвертой степени включительно (остаточный член должен иметь сомножитель 
) и вычислить приближенное значение функции в точке
, отбросив остаточный член.
(
; 
).
Решение:Найдем значение функции 
и ее производных до четвертого порядка включительно в точке 
.
; 
; 
;
; 
;
; 
.
; 
.
Для того чтобы записать остаточный член формулы Тейлора, необходимо определить пятую производную функции в точке 
:
; 
.
Тогда
.
