Оценивание стандартной неопределенности по типу В

4.3.1. Для оценки x_i входной величины X_i, которая не была получена в результате

повторных наблюдений, связанные с ними оценка дисперсии u²(x_i) или

стандартная неопределенность u(x_i) определяются на базе научного суждения,

основанного на всей доступной информации возможной изменчивости X_i.

Используемая для этого информация может включать:

- данные предварительных измерений;

- данные, полученные в результате опыта, или общее знание о поведении

и свойствах соответствующих материалов и приборов;

- спецификации изготовителя;

- данные, которые приводятся в свидетельствах о калибровке и в других

сертификатах;

- неопределенности, приписываемые справочным данным, взятым из

справочников.

Для удобства u²(x_i) и u(x_i), оцененные таким способом, иногда называются

соответственно дисперсией типа В и стандартной неопределенностью типа В.

4.3.2. Правильное использование доступной информации для оценивания

стандартной неопределенности по типу В требует интуиции, основанной на опыте

и общих знаниях. Вместе с тем, оценка стандартной неопределенности по типу В

может быть такой же надежной, как и оценка по типу А. Особенно в измерительной ситуации, когда оценивание по типу А основывается на небольшом числе статистически независимых наблюдений.

4.3.3. Если оценка x_i берется из спецификации изготовителя, свидетельства о

поверке, справочника или другого источника, и ее неопределенность дается как

некоторое кратное стандартного отклонения, то стандартную неопределенность

u(x_i) можно принять равной указанному значению, деленному на множитель, и

оцененная дисперсия u₂(x_i) равна квадрату этого частного.

Пример. Свидетельство о калибровке утверждает, что масса m_s эталона из нержавеющей стали с номинальным значением 1 килограмм составляет 1000,000325 г и что «неопределенность этого значения равняется 240 мкг на уровне трех стандартных отклонений». Тогда стандартная неопределенность эталона массы есть просто u(m_s)=( 240 мкг )/3= 80 мкг. Это соответствует относительной стандартной неопределенности u(m_s)/m_s= 80 ·10^-5 Оцененная дисперсия u²(m_s)=(80 мкг)² = 6,4 · 10^-9 г².

4.3.4. Приведенная неопределенность величины х_i необязательно дается в виде кратного стандартного отклонения. Вместо этого можно встретить, что упомянутая неопределенность определяет интервал, имеющий 90, 95 или 99

процентный уровень доверия. Если не указано другого, то можно предположить, что использовалось нормальное распределение для вычисления упомянутой неопределенности, и стандартную неопределенность для х_i получают делением приведенной неопределенности на соответствующий коэффициент для

нормального распределения. Коэффициенты, соответствующие выше указанным

трем доверительным уровням, следующие: 1,64; 1,96 и 2,58.

Пример. Свидетельство о калибровке утверждает, что сопротивление эталонного

резистора R_s с номинальным значением десять Ом есть 10,000742 Ом ± 129 мкОм при 23 ^оС и что «упомянутая неопределенность 129 мкОм определяет интервал, имеющий 99 процентный уровень доверия». Стандартную неопределенность резистора можно принять как u(R_s)= (129 мкОм)/2,58 = 50 мкОм, что соответствует относительной стандартной неопределенности u(R_s)/ R_s =5,0 · 10^-6. Оцененная дисперсия есть u²(R_s) = (50 мкОм)² = 2,5 · 10^-9 Ом².

4.3.5. В том случае, когда основываясь на доступной информации можно

утверждать, что существует вероятность «пятьдесят на пятьдесят» того, что

значение входной величины X_i находится в интервале от a- до a+ (другими

словами, вероятность того X_i находится в этом интервале составляет 0,5 или 50 %)

можно использовать следующий подход к решению проблемы. Если можно

предположить, что распределение возможных значений X_i приблизительно

нормально, то наилучшую оценку х_i величины X_i можно принять как среднюю

точку этого интервала. Далее, если полуширина этого интервала обозначается как

а = (а+ - а-) / 2, то можно принять u(x_i) = 1,48 а, так как для нормального распределения с ожиданием μ ± σ/1,48 охватывает приблизительно 50 процентов распределения.

Пример. Станочник, определяющий размеры детали, оценивает, что ее длина

находится, с вероятностью 0,5, в интервале от 10,07 мм до 10,15 мм и утверждает,

что l= (10,11±0,04) мм, имея в виду, что ± 0,04 мм определяет интервал, имеющий

50 процентный уровень доверия. Тогда а= 0,04 мм и, предложив нормальное

распределение для возможных значений l, стандартная неопределенность длины

составляет u(l) = 1,48 · 0,04 мм = 0,06 мм и оцененная дисперсия u²(l) =(1,48·

0,04 мм)² = 3,5 · 10^-3 мм².

4.3.7. В других случаях можно оценить только границы (верхний и нижний

пределы) для X_i. В частности, утверждать, что «вероятность того, что значение X_i

находится в интервале от a- до a+ для всех практических целей, равна

единице и вероятность того, что X_i находится за пределами этого интервала равна

нулю». Если нет конкретных сведений о возможных значениях X_i внутри

интервала, то можно только предположить, что с одинаковой вероятностью X_i

может находиться в любом месте в его пределах (равномерное или прямоугольное

распределение возможных значений). Тогда x_i, ожидание или ожидаемое значение X_i является средней точкой интервала, x_i = (a₊ + a_-) / 2 с соответствующей дисперсией

u²(x_i)= (a₊ - a_-)² / 12.

Если разность между границами a₊ - a_- обозначить как 2а, тогда уравнение (6)

принимает вид u²(x_i)=а²/ 3. (7)

Примечание. Когда составляющая неопределенности, полученная таким

образом, дает значительный вклад в неопределенность результата

измерения, имеет смысла получить дополнительные данные для ее

дальнейшего оценивания.

Примеры. 1. Справочник дает значения температурного коэффициента линейного

расширения чистотой меди при 20^оС α₂₀(Cu) = 16,52 · 10^{-6 о}С^-1 и просто утверждает, что «погрешность этого значения не должна превышать 0,40 · 10^{-6 о}С^-1». Основываясь на такой ограниченной информации, можно только предположить, что значение α₂₀(Cu) находится с равной вероятностью в интервале от 16,12 · 10^{-6 о}С^-1 до 16,92 · 10^{-6 о}С^-1 и что очень маловероятно, чтобы α₂₀(Cu) находится за пределами этого интервала. Дисперсия этого симметричного прямоугольного распределения возможных значений α₂₀(Cu) с полушириной α =0,40 · 10^{-6 о}С^-1 тогда есть, из уравнения (7), u²( α₂₀) = (0,40 · 10^{-6 о}С^-1)2 /3 = 53,3 · 10^{-15 о}С^-2 и стандартная неопределенность есть u( α₂₀) = (0,40 · 10^{-6 о}С^-1) / √3 = 0,23 ·

10^{-6 о}С^-1.

1. В спецификациях изготовителя для цифрового вольтметра указывается, что

«в промежутке от года до двух лет после калибровки прибора его

погрешность на диапазоне 1 В равняется показанию, умноженному на 14 ·

10^-6 плюс диапазон, умноженный на 2 · 10^-6». Предположим, что прибор используется спустя 20 месяцев после калибровки для измерения разности потенциалов V на его диапазоне 1 В и установлено, что среднее арифметическое ряда независимых повторных наблюдений V равняется V = 0,928571 В при стандартной неопределенности u (V) = 12 мкВ, вычисленной по типу А. Оценку по типу В стандартной неопределенности, связанную со

спецификациями изготовителя, можно получить в предположении, что указанная погрешность дает симметричные границы аддитивной поправки к V, Δ V ожидания, равного нулю, и при равной вероятности нахождения в любом месте в пределах границ. Полуширина а симметричного прямоугольного распределения возможных значений V тогда есть а = (14 ·10^-6) · (0,928571 В) + (2· 10^-6) · (1 В) = 15 мкВ и из уравнения (7)

u ² ( Δ V) = 75 мкВ ² и u( Δ V) =8,7 мкВ. Оценка значения измеряемой величины V, для простоты обозначенная тем же самым символом V, выражается как v = V +Δ V = 0,928571 B. Суммарную стандартную неопределенность этой оценки получают суммированием стандартной неопределенности V, равной 12 мкВ, вычисленной по типу А, со

стандартной неопределенностью Δ V, равной 8,7 мкВ, вычисленной по типу В.