ОЦЕНИВание неопределенностИ измерениЙ

Оценки составляющих, входящих в суммарную неопределенность, могут быть получены путем оценивания как по типу А, так и по типу В, причем каждая составляющая должна быть представлена оценкой соответствующей дисперсии или значением корня квадратного из нее. В Рекомендации INC-1 по поводу неопределенностей, оцениваемых разными методами, сказано:

1 Неопределенность в результате измерения обычно состоит из нескольких составляющих, которые можно сгруппировать в две категории в соответствии со способом оценки их численного значения:

А. составляющие, которые оцениваются путем применения статистических методов,

В. составляющие, которые оцениваются другими способами…

Не всегда можно провести простую параллель между классификацией по категориям А и В и ранее используемой классификацией по "случайным" и "систематическим" неопределенностям. Термин "систематическая неопределенность" может вносить неясность и поэтому его следует избегать.

2 Составляющие в категории А характеризуются оцененными дисперсиями s²_i, (или оцененными стандартными отклонениями s_i) и числом степеней свободы v_i. В случае необходимости следует указать ковариации.

3. Составляющие в категории В должны характеризоваться величинами и²_j, которые можно рассматривать как аппроксимации к соответствующим дисперсиям, существование которых предполагается.

В Руководстве в эту позицию внесены существенные поправки, поскольку связи между характером проявления погрешностей (случайные и систематические) и методами их оценивания не существует.

В частности, в Руководстве сказано:

3.3.3 Рекомендация IMC-1 (1980) Рабочей группы по определению неопределенностей группирует составляющие неопределенностей в две категории в соответствии с методами их оценки: "А" и "В". Эти категории относятся к неопределенности и не являются заменителями слов "случайная" и "систематическая". Неопределенность от внесения поправки на известный систематический эффект может быть получена в некоторых случаях как оценка по типу А, в то время как в других случаях – как оценка по типу В, так же как и неопределенность, характеризующая случайный эффект.

ПРИМЕЧАНИЕ – В некоторых публикациях составляющие неопределенности разделяют на категории "случайной" и "систематической" и связывают с погрешностями, возникающими соответственно из случайных и известных систематических эффектов. Такое разделение составляющих неопределенности может быть двусмысленным при общем применении. Например, "случайная" составляющая неопределенности в одном измерении может стать "систематической" составляющей неопределенности в другом измерении, в котором результат первого измерения используется в качестве входных данных. При разделении на категории методов оценки составляющих неопределенности, а не самих составляющих, такая двусмысленность устраняется. В то же время это не мешает собирать отдельные составляющие, которые были оценены этими двумя различными методами, в указанные группы, чтобы использовать для конкретной цели.

3.3.4 Целью классификации на тип А и тип В является показ двух различных способов оценки составляющих неопределенности, и она используется только для удобства обсуждения; она не предназначена для показа того факта, что существует какое-либо различие в природе этих составляющих, являющихся результатом этих двух типов вычисления. Оба типа оценивания основаны на распределениях вероятностей, и составляющие неопределенности, являющиеся результатом использования каждого типа, определяются количественно дисперсией или стандартным отклонением.

3.3.5 Оцененную дисперсию и², характеризующую составляющую неопределенности, полученную в результате оценивания по типу А, вычисляют из рядов повторных наблюдений, и она является знакомой статистической оценкой дисперсии и². Оцененное стандартное отклонение и – положительный квадратный корень из и² – является, таким образом, и = s и для удобства его иногда называют стандартной неопределенностью типа А. Для составляющей неопределенности, полученной из оценивания по типу В, оцениваемую дисперсию и вычисляют, используя имеющиеся данные, и оцененное стандартное отклонение и иногда называют стандартной неопределенностью типа В.

Таким образом, стандартную неопределенность типа А получают из функции плотности вероятностей, полученной из наблюдаемого распределения по частости, в то время как стандартную неопределенность типа В получают из предполагаемой функции плотности вероятностей, основанной на степени уверенности в том, что событие произойдет (эта вероятность часто называется субъективной вероятностью). Оба эти подхода являются признанными интерпретациями вероятности.

ПРИМЕЧАНИЕ – Оценка составляющей неопределенности по типу В обычно основывается на фонде сравнительно надежной информации.

В Руководстве описаны «методы вычисления стандартной неопределенности» по типу А и по типу В.

Вычисление стандартной неопределенности (u_A) по типу А

Исходными данными для вычисления являются результаты многократных измерений: x_i1,…,x_ini (i=1,…,m), где n_i – число измерений i -й входной величины. Стандартную неопределенность единичного измерения i -й входной величины вычисляют по формуле:

u_A,t = (10.1)

где – среднее арифметическое результатов измерений i -й входной величины.

Стандартную неопределенность измерений i -й входной величины, при которых результат определяют как среднее арифметическое, вычисляют по формуле:

u_A(x_I) = (10.2)

Вычисление стандартной неопределенности (u_B) по типу В

Исходными данными для вычисления является следующая информация:

· данные предшествовавших измерений величин, входящих в уравнение измерения; сведения о виде распределения вероятностей;

· данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях о поведении и свойствах соответствующих приборов и материалов;

· неопределенности констант и справочных данных;

· данные поверки, калибровки, сведения изготовителя о приборе и др.

Неопределенности этих данных обычно представляют в виде границ отклонения значений величины от ее точечной оценки. При неполном знании о неопределенности некоторой i-й входной величины обычно постулируют равновероятное распределение возможных значений этой величины в указанных (нижней и верхней) границах [b_i-, b_i+]. При этом стандартную неопределенность, вычисляемую по типу В, определяют по формуле:

u_B(x_i) = (10.3)

а для симметричных границ (±b_i) –

u_B(x_i) =. (10.4)

В случае других законов распределения формулы для вычисления неопределенности по типу В будут иными.

Вычисление суммарной стандартной неопределенности (u_c)

Оценку дисперсии суммарной стандартной неопределенности при некоррелированных результатах измерений x₁,…, x_m получают из зависимости:

u_c²(y) = (10.5)

В случае коррелированных результатов измерений x₁,…, x_m оценку вычисляют по формуле:

u_c²(y) = (10.6)

где r(x_i, x_j) – коэффициент корреляции, u(x) – стандартная неопределенность входной величины, вычисленная по типу А или по типу В.

Для вычисления коэффициента корреляции используют согласованные пары результатов измерений (x_il, x_jl) (l=1,…n_ij, где n_ij – число согласованных результатов измерений):

r(x_i, x_j) = (10.7)

Выбор коэффициента охвата k при вычислении расширенной неопределенности

В общем случае коэффициент охвата выбирают в соответствии с формулой:

k = t_p(v_eff) (10.8)

где t_p(v_eff) – квантиль распределения Стьюдента с эффективным числом степенен свободы v_eff и доверительной вероятностью (уровнем доверия) р. Значения коэффициента t_p(v_eff) приведены в приложении Г Руководства.

Число степеней свободы определяют по формуле:

v_eff =, (10.9)

где v_i - число степеней свободы при определении оценки i -й входной величины:

v_i = n_i – 1 для вычисления неопределенностей по типу А;

v_i =∞ для вычисления неопределенностей по типу В.

Во многих практических случаях при вычислении неопределенностей измерений делают предположение о нормальном законе распределения возможных значений измеряемой величины и полагают:

k = 2 при р ≈ 0,95 и k = 3 при р ≈ 0,99.

При допущении распределения данных по закону равной вероятности полагают:

k = 1,65 при р ≈ 0.95 и k = 1,71 при р ≈ 0,99.

При представлении результатов измерений Руководство рекомендует приводить достаточное количество информации для возможности проанализировать или повторить весь процесс получения результата измерений и вычисления неопределенностей измерений, а именно:

· алгоритм получения результата измерений.

· алгоритм расчета всех поправок и их неопределенностей;

· неопределенности всех используемых данных и способы их получения:

· алгоритмы вычисления суммарной и расширенной неопределенностей (включая значение коэффициента k).

ВНИИМ им. Д.И.Менделеева в 1999 году разработал нормативный документ ГСИ. Рекомендация МИ 2552 – 99 «Применение "Руководства по выражению неопределенности измерений"», цель которого ясна из названия. Позже этот документ был заменен межгосударственными рекомендациями РМГ 43 – 2001 с тем же названием. В РМГ 43 изложены основные положения Руководства и рекомендации по их применению. В нем дан сравнительный анализ подходов к описанию результатов измерений, принятыми в ГСИ и предлагаемыми в Руководстве, сопоставлены формы представления результатов измерений.

РМГ 43 предлагает применять для сопоставления оценок характеристик неопределенностей и погрешностей результатов измерений схему соответствия (рисунок 10.1). Анализ показывает неполное соответствие, что отражено на схеме. Для оценки СКО, характеризующего неисключенную систематическую погрешность, действительно приходится прибегать к «вычислению неопределенности по типу В», однако оценивание неопределенности по типу В применяют и в других случаях, в том числе и для получения СКО, характеризующего случайную погрешность. В третьей строке «соответствие» кажущееся, оно обусловлено некоторым сходством терминов.

Количественные оценки погрешностей измерений и неопределенностей практически совпадают или различаются незначительно. Проведенные в нормативном документе РМГ 43 расчеты подтверждают, что различия оценок из-за неполного соответствия некоторых алгоритмов расчета и коэффициентов не превышают 11 %, что для рядовых измерений можно считать пренебрежимо малым расхождением.

Рисунок 10.1 – Схема соответствия оценок характеристик неопределенностей и погрешностей в описании результатов измерений

СКО, характеризующее случайную погрешность

Стандартная неопределенность, вычисленная по типу А

СКО, характеризующее неисключенную систематическую погрешность

Стандартная неопределенность, вычисленная по типу В

Суммарная стандартная неопределенность

Расширенная неопределенность

СКО, характеризующее суммарную погрешность

Доверительные границы погрешности

Из проведенного анализа ясно, что для практического оценивания неопределенности и описания этого процесса можно использовать само «Руководство», его официальный перевод или РМГ 43–2001«Применение "Руководства по представлению неопределенности измерения"»