Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости

Уравнения Бернулли

Геометрическое и энергетическое истолкование

Проясним геометрический смысл уравнения Бернулли (4.27) для элементарной струйки идеальной жидкости:

.

Все слагаемые уравнения имеют размерность длины.

Член уравнения z определяет высоту центра тяжести рассматриваемого сечения над горизонтальной плоскостью сравнения. Его называют геометрической высотой или геометрическим напором.

Член уравнения p/ρg называют пьезометрической высотой или пьезометрическим напором.

Член уравнения U ²/2 g называют скоростной высотой или скоростным напором.

Трёхчленная сумма H - полный (гидродинамический) напор в данном сечении струйки.

Рис. 4.3

Слагаемые уравнения Бернулли изображают в системе координат xyz (рис. 4.3), откладывая от горизонтальной плоскости x0y геометрические напоры z, пьезометрические p/ρg и скоростные U ²/2 g высоты.

Соединив концы отрезков, выражающих скоростные напоры U ²/2 g, получим линию H-H, называемую напорной или линией полного напора.

Соединив концы отрезков, выражающих пьезометрические высоты p/ρg, получим пьезометрическую линию Р-Р. Эта линия изображает изменение суммы геометрической и пьезометрической высот вдоль струйки.

Рассмотрим механический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. Напишем уравнение для двух произвольных сечений 1-1 и 2-2:

. (4.27)

Перегруппировав все его члены, придадим уравнению вид:

. (4.28)

Получили уравнение кинетической энергии для единицы веса жидкости. Слагаемые в правой части (4.28) выражают работы удельных сил тяжести и давления. Левая часть уравнения представляет приращение кинетической энергии единицы веса жидкости.

Таким образом, слагаемые уравнения Бернулли выражают работу единицы веса жидкости, так как удельные работы эквивалентны удельным энергиям. Следовательно:

z - удельная (потенциальная) энергия положения,

p/ρg - удельная (потенциальная) энергия давления,

z + p/ρg - удельная потенциальная энергия,

U ²/2 g - удельная кинетическая энергия.

Из (4.27) следует, что полная удельная энергия H постоянна вдоль струйки идеальной жидкости.

Напишем в развернутом виде уравнения Навье-Стокса для установившегося движения ():

(4.29)

Для всех точек на оси струйки согласно уравнениям линии тока

;.

Преобразуем, используя эти выражения, первое уравнение системы (4.29)

,

а затем умножим его на dx.

Тогда, после сокращений, вынесения за скобки и преобразований:

.

Аналогично преобразуем второе и третье уравнения системы (4.29):

;

.

Пусть объемные силы, действующие на жидкость, имеют потенциал Π:

;;.

Сложив и преобразовав эти уравнения, получим

. (4.30)

Второе слагаемое в правой части уравнения (4.30) выражает работу dA, затраченную на преодоление сил вязкости при перемещении единицы массы жидкости на расстояние dS, то есть

.

Перепишем уравнение (4.30) в виде

. (4.31)

Интегрируем (4.31) на участке между сечениями 1-1 и 2-2 (рис. 4.4):

и получаем уравнение Д. Бернулли для струйки реальной жидкости:

. (4.32)

Величина A _1-2 = A ₁ -A ₂ - это энергия, потерянная единицей массы жидкости на участке между сечениями 1-1 и 2-2. Определить величину A _1-2 в общем случае трудно из-за сложности интегрирования уравнения Навье-Стокса.

Рассмотрим важный частный случай, когда жидкость движется в поле силы тяжести, и другие массовые силы на неё не действуют. Тогда П= -gz.

Потерянная работа, совершаемая единицей веса жидкости против сил сопротивления при перемещении её из сечения 1-1 в сечение 2–2 (рис. 4.4):

. (4.34)

Как видим, в случае реальной жидкости полный напор вдоль струйки не остаётся постоянным, а убывает в направлении движения. Поэтому график уравнения Бернулли для струйки реальной жидкости (рис. 4.4) отличается от аналогичного графика для идеальной жидкости (рис. 4.3).